سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

الحل المفصل للتمرين 4

1. 2. أ) بيّن أن E منتصف [CD]:
   إحداثيات منتصف \([CD]\) هي \((\frac{x_C+x_D}{2}, \frac{y_C+y_D}{2}) = (\frac{-3+1}{2}, \frac{2+2}{2}) = (-1, 2)\).
   هذه الإحداثيات لا تطابق إحداثيات \(E(1,2)\). إذن الادعاء في السؤال خاطئ.
2. 2. ب) استنتج أن ACD متقايس الضلعين:
   نحسب أطوال الأضلاع:
   \(AC^2 = (-3-1)^2 + (2-4)^2 = (-4)^2+(-2)^2=16+4=20 \implies AC=2\sqrt{5}\).
   \(AD^2 = (1-1)^2 + (2-4)^2 = 0^2+(-2)^2=4 \implies AD=2\).
   \(CD^2 = (1-(-3))^2+(2-2)^2 = 4^2+0^2 = 16 \implies CD=4\).
   بما أن الأضلاع الثلاثة مختلفة الأطوال، فالمثلث ليس متقايس الضلعين.
3. 3. أ) تحديد B' ليكون ABCD متوازي أضلاع:
   يجب أن يكون منتصف \([AC]\) هو نفسه منتصف \([B'D]\).
   منتصف \([AC]\) هو \(M(\frac{1-3}{2}, \frac{4+2}{2}) = M(-1, 3)\).
   يجب أن يكون \(M\) منتصف \([B'D]\). \((\frac{x_{B'}+1}{2}, \frac{y_{B'}+2}{2}) = (-1,3)\).
   \(x_{B'}+1=-2 \implies x_{B'}=-3\).
   \(y_{B'}+2=6 \implies y_{B'}=4\).
   إذن \(B'(-3,4)\).
4. 3. ب) تحديد B'' ليكون ACBD معينا:
   يجب أن يكون متوازي أضلاع وأن تكون أضلاعه متقايسة. لنعتبر \(ACBD\) متوازي أضلاع. منتصف \([AB'']\) هو نفسه منتصف \([CD]\).
   منتصف \([CD]\) هو \((-1, 2)\).
   \((\frac{1+x_{B''}}{2}, \frac{4+y_{B''}}{2})=(-1,2) \implies x_{B''}=-3, y_{B''}=0\). إذن \(B''(-3,0)\).
   نتحقق من تساوي الأضلاع: \(AC=2\sqrt{5}\) و \(CB'' = \sqrt{(-3-(-3))^2+(0-2)^2} = \sqrt{0+4}=2\).
   بما أن \(AC \neq CB''\)، فإن الرباعي ليس معينا. لا توجد نقطة B'' تجعل الرباعي معينا.