ص. 86
\(ABC\) مثلث حيث \(AC=3\sqrt{5}\) و \(AB=9\) و \(BC\).
- بيّن أن المثلث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) ثم انجز الرسم.
- عين \(H\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\). بيّن أن \(AH=\dots\), \(BH=\dots\), استنتج أن \(CH=5\).
- لتكن \(D\) النقطة من \((CA)\) حيث \(CD=9\) والدائرة \(\zeta\) التي قطرها \([CD]\) تقطع \([AB]\) في \(E\). بيّن أن \(AE = 3\sqrt{2}\) وتقطع \([BC]\) في \(I\). بيّن أن \(HI = 3\) واستنتج أن \(\frac{CH}{CA} = \frac{HI}{AD}\).
- المستقيمان \((BA)\) و \((DI)\) يتقاطعان في \(O\). ماذا تمثل \(O\) بالنسبة للمثلث \(BCD\)؟ استنتج أن \(C,O,J\) على استقامة واحدة.
- المستقيم الموازي لـ\((BC)\) والمار من \(A\) يقطع \((BD)\) في \(M\) و \((DI)\) في \(N\). بيّن أن \(AMBI\) هو متوازي أضلاع ثم استنتج طبيعة \(\triangle AMD\) وبيّن أن \(AHIN\) هو مستطيل.
- بيّن أن المستقيمات \((CI)\), \((AJ)\), \((NH)\) تتقاطع في نقطة واحدة.
الحل المفصل للتمرين 3 (ص. 86)
تنبيه: هذا التمرين يحتوي على تناقضات في الأرقام بين الأسئلة.
- بافتراض المثلث قائم في A: \(BC^2=AB^2+AC^2 = 9^2+(3\sqrt{5})^2 = 81+45=126\). إذن \(BC=\sqrt{126}=3\sqrt{14}\).
- باستخدام العلاقات المترية: \(AC^2 = CH \cdot BC \implies (3\sqrt{5})^2 = CH \cdot 3\sqrt{14} \implies 45 = CH \cdot 3\sqrt{14} \implies CH=\frac{15}{\sqrt{14}}\). هذا يتناقض مع \(CH=5\).
- \(O\) هي تقاطع \((BA)\) (ارتفاع في \(\triangle BCD\)) و \((DI)\). \(O\) هي المركز القائم للمثلث \(BCD\).