ليكن \(ABC\) مثلث حيث \(AC = 4\sqrt{3}\) و \(BC = 8\) و \(AB = 4\). )
بيّن أن \(ABC\) قائم.
انجز الرسم.
ابن الدائرة \(\mathcal{C}\) التي قطرها \([AB]\) تقطع \([BC]\) في \(E\). بيّن أن \(EAB\) قائم.
بيّن أن \(AE = 2\sqrt{3}\).
لتكن \(O\) منتصف \([BC]\). بيّن أن \(OAB\) متقايس الأضلاع واستنتج \(EB\).
بيّن أن \(H\) منتصف \([AC]\) وأن \(OH = 2\).
عين النقطة \(K\) على \([OH]\) حيث \(HK=6\). بيّن أن \(CK = 4\sqrt{3}\).
استنتج أن \(OCK\) قائم.
لتكن \(F\) منتصف \([CK]\). بيّن أن \(AKFE\) متوازي أضلاع.
لتكن \(G\) مناظرة \(K\) بالنسبة إلى \(H\). احسب \(OG\) ثم استنتج أن \(AOGB\) معين.
الحل المفصل للتمرين 1
1. أ) لدينا \(AC^2+AB^2 = 4^2 + (4\sqrt{3})^2 = 16+48=64\). و \(BC^2 = 8^2=64\). بما أن \(AC^2+AB^2=BC^2\)، فالمثلث قائم في A.
2. أ) الدائرة \(\mathcal{C}\) قطرها \([AB]\) و \(E\) نقطة منها، إذن المثلث \(AEB\) قائم في E.
2. ب) في \(\triangle ABC\)، \([AE]\) هو الارتفاع الصادر من A. لدينا \(AE \cdot BC = AC \cdot AB \implies AE \cdot 8 = 4 \cdot 4\sqrt{3} \implies AE = 2\sqrt{3}\).
2. ج) \(O\) منتصف الوتر \(BC\)، إذن \(OA\) موسط وطوله \(OA = BC/2 = 4\). \(OB = 4\). \(AB = 4\). (هذا يتناقض مع أن \(AB=4\sqrt{3}\)). يوجد خطأ في معطيات التمرين.