سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

الحل المفصل للتمرين 1 (بالمعطيات الصحيحة)

1. 1. أ) بيّن أن \(ABC\) قائم:
   نطبق المبرهنة العكسية لفيثاغورس.
   نحسب مربع كل ضلع:
   • \(AB^2 = 4^2 = 16\)
   • \(AC^2 = (4\sqrt{3})^2 = 16 \times 3 = 48\)
   • \(BC^2 = 8^2 = 64\)
   نلاحظ أن \(AB^2 + AC^2 = 16 + 48 = 64\).
   بما أن \(AB^2 + AC^2 = BC^2\)، فإن المثلث \(ABC\) قائم في \(A\).
2. 2. أ) بيّن أن \(EAB\) قائم:
   لدينا الدائرة \(\mathcal{C}\) قطرها هو \([AB]\) والنقطة \(E\) تنتمي لهذه الدائرة.
   أي مثلث (مثل \(\triangle AEB\)) مرسوم داخل دائرة وأحد أضلاعه قطر في الدائرة يكون مثلثاً قائماً في الرأس المقابل للقطر.
   إذن، المثلث \(AEB\) قائم في \(E\).
3. 2. ب) بيّن أن \(AE = 2\sqrt{3}\):
   بما أن \(\triangle AEB\) قائم في \(E\)، فإن \((AE) \perp (EB)\). وبما أن \(E\) نقطة من \([BC]\)، فإن \((AE) \perp (BC)\).
   إذن، \([AE]\) هو الارتفاع الصادر من الرأس \(A\) في المثلث القائم \(ABC\).
   باستخدام العلاقات المترية في المثلث القائم: \( \text{الارتفاع} \times \text{الوتر} = \text{جداء الضلعين القائمين} \).
   \(AE \cdot BC = AB \cdot AC\)
   \(AE \cdot 8 = 4 \cdot 4\sqrt{3}\)
   \(8 \cdot AE = 16\sqrt{3}\)
   \(AE = \frac{16\sqrt{3}}{8} = 2\sqrt{3}\).
4. 2. ج) بيّن أن \(OAB\) متقايس الأضلاع واستنتج \(EB\):
   أولاً، نبيّن أن \(\triangle OAB\) متقايس الأضلاع:
   • \(O\) هي منتصف الوتر \([BC]\) في المثلث القائم \(ABC\). إذن \([AO]\) هو الموسط المتعلق بالوتر.
   • طول الموسط المتعلق بالوتر يساوي نصف طول الوتر: \(AO = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4\).
   • كذلك، \(OB = \frac{BC}{2} = 4\).
   • من المعطيات، لدينا \(AB=4\).
   • إذن، في المثلث \(OAB\)، لدينا \(AO=OB=AB=4\).
     إذن، المثلث \(OAB\) متقايس الأضلاع.
   ثانياً، نستنتج \(EB\):
   نعتبر المثلث \(AEB\) القائم في \(E\). نطبق مبرهنة فيثاغورس: \(AB^2 = AE^2 + EB^2\).
   \(4^2 = (2\sqrt{3})^2 + EB^2\)
   \(16 = 12 + EB^2\)
   \(EB^2 = 16 - 12 = 4\)
   \(EB = \sqrt{4} = 2\).