سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

(وحدة الطول هي الصم)

1. ليكن \(ABC\) مثلث حيث \(AB = 4\sqrt{3}\) و \(AC = 8\) و \(BC\).
   1. بيّن أن \(ABC\) قائم.
   2. انجز الرسم.
2. 1. ابن الدائرة \(\mathcal{C}\) التي قطرها \([AB]\) تقطع \([BC]\) في \(E\).
      بيّن أن \(EAB\) قائم.
   2. بيّن أن \(AE = 2\sqrt{3}\).
   3. لتكن \(O\) منتصف \([BC]\). بيّن أن \(OAB\) متقايس الأضلاع واستنتج \(EB\).
3. 1. بيّن أن \(H\) منتصف \([AC]\) وأن \(OH = 2\).
   2. عين النقطة \(K\) على \([OH]\) حيث \(HK=6\). بيّن أن \(CK = 4\sqrt{3}\).
   3. استنتج أن \(OCK\) قائم.
4. لتكن \(F\) منتصف \([CK]\). بيّن أن \(AKFE\) متوازي أضلاع.
5. لتكن \(G\) مناظرة \(K\) بالنسبة إلى \(H\). احسب \(OG\) ثم استنتج أن \(AOGB\) معين.

(وحدة الطول هي الصم)

1. 1. ابن مثلثا \(OAC\) قائم الزاوية في \(A\) بحيث \(OA=9\) و \(OC = 6\sqrt{2}\).
   2. بيّن أن \(AC = \dots\)
2. 1. لتكن \(I\) منتصف \([AC]\) و \(B\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(O\). احسب \(BI\).
   2. لتكن \(H\) نقطة تقاطع \((IB)\) و \((OC)\). بيّن أن \(OH=3\).
   3. استنتج أن \(AH = 2\sqrt{3}\).
3. المستقيم المار من \(A\) والموازي لـ\((OC)\) يقطع \((IB)\) في \(E\). بيّن أن \(H\) منتصف \([BE]\).
4. المستقيم المار من \(E\) والموازي لـ\((AB)\) يقطع \((AH)\) في \(F\). بيّن أن \(ABFE\) معين.

\((O,I,J)\) معين متعامد في المستوي حيث \(OI=OJ=1\).

1. عين النقاط \(A(-2,0)\) و \(B(0,2\sqrt{2})\) و \(C(4,0)\).
   ب. أحسب \(AC\) و \(IB\).

1. \(ABC\) مثلث حيث \(AC=3\sqrt{5}\) و \(AB=9\). بيّن أن المثلث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\) ثم انجز الرسم.
2. 1. عين \(H\) المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\). ثم بين أن \(AH=\dots\) و \(BH=\dots\)
   2. استنتج أن \(CH = 5\) و \(CD=\dots\)
3. لتكن \(D\) النقطة من \((CA)\) حيث \(CD=9\) والدائرة التي قطرها \([CD]\)
   1. تقطع \([AB]\) في \(E\). بين أن \(AE = 3\sqrt{2}\).
   2. تقطع \([BC]\) في نقطة ثانية \(I\). بين أن \(HI = 3\).
   3. استنتج أن \(\frac{CH}{CA} = \frac{HI}{AD}\).
4. المستقيمان \((BA)\) و \((DI)\) يتقاطعان في \(O\) والدائرة \(\zeta\) تقطع \((BD)\) في نقطة ثانية \(J\).
   1. ماذا تمثل \(O\) بالنسبة للمثلث \(BCD\)؟ علل جوابك.
   2. استنتج أن النقط \(C\) و \(O\) و \(J\) على نفس الاستقامة وأن \(OD = OB\).
5. المستقيم الموازي لـ\((BC)\) والمار من \(A\) يقطع \((BD)\) في \(M\) و \((DI)\) في \(N\).
   1. بيّن أن \(AMBI\) هو متوازي أضلاع ثم استنتج طبيعة المثلث \(AMD\).
   2. بيّن أن \(AHIN\) هو مستطيل ثم استنتج أن \(MN=1\).
6. 1. بيّن أن المستقيمات \((CI)\) و \((AJ)\) و \((NH)\) تتقاطع في نقطة واحدة.
   2. بيّن أن \(G\) تمثل مركز ثقل المثلث \(BCD\).

\((O,I,J)\) معين متعامد في المستوي حيث \(OI=OJ=1\).

1. عين النقاط \(A(1,4)\)، \(B(5,2)\)، \(C(-3,2)\)، \(D(1,2)\)، \(E(1,2)\).
2. 1. بيّن أن \(E\) منتصف \([CD]\).
   2. استنتج أن \(ACD\) متقايس الضلعين.
3. 1. حدد إحداثيات \(B\) بحيث يكون الرباعي \(ABCD\) متوازي أضلاع.
   2. حدد إحداثيات \(B\) بحيث يكون الرباعي \(ABCD\) معينا. علل جوابك.