الحل المفصل للتمرين 5
1) بناء C وحساب AC
- بما أن \(C\) تنتمي للمستقيم \(\Delta\) العمودي على \((AB)\) في \(A\)، فإن المثلث \(ABC\) قائم في \(A\).
بتطبيق مبرهنة فيثاغورس: \(BC^2 = AB^2+AC^2 \implies 6^2 = 3^2+AC^2 \implies 36=9+AC^2\).
\(AC^2 = 27\)، إذن \(AC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\).
2) أ) بيّن أن المثلث BDC قائم
- نطبق المبرهنة العكسية لفيثاغورس.
\(BD^2 + CD^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = (9\times 2) + (9\times 2) = 18 + 18 = 36\).
\(BC^2 = 6^2 = 36\).
بما أن \(BD^2+CD^2 = BC^2\)، فإن المثلث \(BDC\) قائم في \(D\).
2) ب) استنتج أن النقاط A, B, C, D تنتمي لنفس الدائرة
- لدينا المثلث \(ABC\) قائم في \(A\)، إذن النقاط \(A,B,C\) تنتمي للدائرة التي قطرها \([BC]\).
- لدينا المثلث \(BDC\) قائم في \(D\)، إذن النقاط \(D,B,C\) تنتمي للدائرة التي قطرها \([BC]\).
- إذن النقاط الأربع تنتمي لنفس الدائرة \(\mathcal{C}\) التي قطرها \([BC]\).
مركزها هو \(O\) منتصف \([BC]\).
شعاعها هو \(R = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3\).
2) ج) احسب AH
- \(H\) هو المسقط العمودي لـ \(A\) على \((BC)\). \([AH]\) هو الارتفاع الصادر من \(A\) في المثلث القائم \(ABC\).
باستخدام العلاقة: \(AH \cdot BC = AB \cdot AC\).
- \(AH \cdot 6 = 3 \cdot 3\sqrt{3} \implies AH = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2}\).
3) حدد طبيعة الرباعي HAOD ثم أحسب مساحته
- لدينا \((AH) \perp (BC)\) (أي \((HO)\)) و \((OD)\) هو موسط في \(\triangle BDC\). بما أن \(\triangle BDC\) متساوي الساقين في \(D\)، فإن الموسط \([OD]\) هو أيضاً ارتفاع. إذن \((OD) \perp (BC)\).
- بما أن \((AH) \perp (HO)\) و \((OD) \perp (HO)\)، فإن \((AH) // (OD)\).
- الرباعي \(HAOD\) له ضلعان متقابلان متوازيان، إذن هو شبه منحرف. وبما أن \(\angle AHO = 90^\circ\)، فهو شبه منحرف قائم.
- لحساب المساحة: مساحة شبه المنحرف = \(\frac{(\text{القاعدة الكبرى} + \text{القاعدة الصغرى}) \times \text{الارتفاع}}{2}\).
القاعدتان هما \([AH]\) و \([OD]\). الارتفاع هو \([HO]\).
\(AH = \frac{3\sqrt{3}}{2}\).
\(OD=3\) (شعاع الدائرة).
في المثلث القائم \(ABO\)، \(O\) منتصف \(BC\). \(AO\) موسط. \(AO = \frac{BC}{2}=3\).
في المثلث القائم \(AHO\): \(HO^2 = AO^2 - AH^2 = 3^2 - (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2 = 9 - \frac{27}{4} = \frac{9}{4}\). إذن \(HO = \frac{3}{2}\).
مساحة \(HAOD = \frac{(AH + OD) \times HO}{2} = \frac{(\frac{3\sqrt{3}}{2} + 3) \times \frac{3}{2}}{2} = \frac{\frac{9\sqrt{3}}{4} + \frac{9}{2}}{2} = \frac{9\sqrt{3}+18}{8}\).