مثلث \(EFG\) حيث \(EF=10\)cm، \(FG=8\)cm، و \(EG=6\)cm.
-
- بيّن أن المثلث \(EFG\) قائم.
- ابن الدائرة \(\mathcal{C}\) المحيطة بالمثلث \(EFG\) وليكن \(O\) مركزها.
- ابن المستقيم \(\Delta\) المماس للدائرة \(\mathcal{C}\) في \(G\) وليكن \(H\) المسقط العمودي لـ \(E\) على \(\Delta\). المستقيم \((HE)\) يقطع الدائرة \(\mathcal{C}\) ثانية في \(M\) ويقطع \((FG)\) في \(N\).
- بيّن أن \(G\) منتصف \([NF]\).
- استنتج أن المثلث \(EFN\) متقايس الضلعين.
- احسب \(GH\) و \(EH\).
- بيّن أن المثلث \(MNF\) قائم.
- استنتج أن \(GM=8\)cm ثم احسب \(HM\).
- المستقيمان \((EG)\) و \((MF)\) يتقاطعان في \(T\). بيّن أن \(\frac{ET}{EG} = \frac{7}{9}\).
الحل المفصل للتمرين 4
1) أ) بيّن أن المثلث EFG قائم
- نطبق المبرهنة العكسية لفيثاغورس.
\(EG^2 + FG^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\).
\(EF^2 = 10^2 = 100\).
بما أن \(EG^2 + FG^2 = EF^2\)، فإن المثلث \(EFG\) قائم في \(G\).
1) ب) ابن الدائرة ومركزها
- بما أن المثلث \(EFG\) قائم، فإن مركز دائرته المحيطة \(\mathcal{C}\) هو منتصف وتره \([EF]\).
إذن، \(O\) هي منتصف \([EF]\).
2) أ) بيّن أن G منتصف [NF]
- \(\Delta\) هو المماس لـ \(\mathcal{C}\) في \(G\)، إذن \((OG) \perp \Delta\).
\(H\) هو المسقط العمودي لـ \(E\) على \(\Delta\)، إذن \((EH) \perp \Delta\).
إذن \((OG) // (EH)\) (عموديان على نفس المستقيم).
- في المثلث \(FNE\)، المستقيم \((OG)\) يمر من منتصف الضلع \([EF]\) وهو \(O\)، ويوازي الضلع \((EN)\) (لأن \((EN)\) هو نفسه \((EH)\)).
حسب مبرهنة المنتصفين العكسية، فإنه يقطع الضلع الثالث \([FN]\) في منتصفه.
نقطة التقاطع هي \(G\). إذن، \(G\) هي منتصف \([FN]\).
2) ب) استنتج أن المثلث EFN متقايس الضلعين
- في المثلث \(EFN\)، المستقيم \((EG)\) يمر من الرأس \(E\) ومنتصف الضلع المقابل \([FN]\). إذن \((EG)\) هو موسط.
- لدينا أيضاً \((EG) \perp (FG)\)، أي \((EG) \perp (FN)\). إذن \((EG)\) هو أيضاً ارتفاع.
- المثلث الذي يكون فيه الموسط هو نفسه الارتفاع يكون متقايس الضلعين.
إذن، المثلث \(EFN\) متقايس الضلعين في \(E\). وبالتالي \(EN=EF=10\).
2) ج) احسب GH و EH
- في المثلث \(EFN\)، \((GN)\) هو الارتفاع المتعلق بالوتر \([EF]\).
\(EG^2 = GN \cdot EN \implies 6^2 = GN \cdot 10 \implies GN=3.6\). (هذه علاقة مترية غير صحيحة هنا، \(EN\) ليس الوتر)
الطريقة الصحيحة: في المثلث \(EFN\)، \(G\) منتصف \(FN\). إذن \(FG=GN=8\). \(FN=16\).
نحسب \(EH\) و \(GH\) في \(\triangle EGN\) القائم في \(G\): \(EN^2=EG^2+GN^2=6^2+8^2=100\), \(EN=10\).
لحساب الارتفاع \(GH\): \(GH \cdot EN = EG \cdot GN \implies GH \cdot 10 = 6 \cdot 8 \implies\) \(GH=4.8\).
في \(\triangle EGH\) القائم في \(H\): \(EH^2=EG^2-GH^2 = 6^2-4.8^2=36-23.04=12.96\). \(EH=3.6\).
2) د) بيّن أن المثلث MNF قائم
- النقاط \(M, F, E\) تنتمي للدائرة \(\mathcal{C}\) و \([EF]\) قطرها. إذن المثلث \(EMF\) قائم في \(M\).
- لدينا النقاط \(E,H,M,N\) على استقامة واحدة. إذن الزاوية \(\angle FMN\) هي نفسها \(\angle FME\).
بما أن \(\angle FME = 90^\circ\)، فإن المثلث \(MNF\) قائم في \(M\).
2) هـ) استنتج أن GM=8cm ثم احسب HM
- الرباعي \(OGME\) هو شبه منحرف متساوي الساقين لأن \((OG)//(EM)\) ورؤوسه على نفس الدائرة. إذن \(GM = OE = 5\). هذا يتناقض مع الحل.
الحل يقول \(GM = GF = 8\). هذا يعني أن المثلث \(GFM\) متساوي الساقين. وهذا يحدث لأن \(G\) منتصف \([NF]\) و \(MNF\) قائم في \(M\). إذن \([GM]\) هو الموسط المتعلق بالوتر في \(\triangle MNF\)، إذن \(GM = \frac{NF}{2} = GF = 8\).
في المثلث القائم \(HMG\)، \(HM^2 = GM^2 - GH^2 = 8^2 - (4.8)^2 = 64-23.04 = 40.96\). \(HM=\sqrt{40.96}=6.4\).
3) بيّن أن \(\frac{ET}{EG} = \frac{7}{9}\)
- في المثلث \(EHG\)، \(M \in (EH)\) و \(T \in (EG)\) و \((TM) // (HG)\)؟ لنر.
لدينا \(EM = EH+HM = 3.6+6.4 = 10\). هذا يتناقض مع كون \(EN=10\). هناك خطأ في الأرقام في الحل.
لنتبع منطق الحل المعطى في الصورة مباشرة:
بتطبيق طاليس في المثلث \(EHG\) مع \((TM)//(HG)\) (هذه الفرضية ليست مبرهنة):
\(\frac{ET}{EG} = \frac{EM}{EH} = \frac{TM}{HG}\).
من الحل: \(EM=3.6\) و \(EH=5\). و \(HM=3.2\).
هذه الأرقام مختلفة تماماً عن حساباتنا. إذا اعتمدنا أرقام الحل، \(\frac{ET}{EG} = \frac{3.6}{5} = \frac{18}{25}\). وهذا أيضاً لا يتطابق. هناك تناقضات متعددة في نص الحل.