سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

الحل المفصل للتمرين 3

1) الرسم وحساب AC

• أ) نرسم مربعًا طول ضلعه 6cm. مركزه O هو نقطة تقاطع قطريه \([AC]\) و \([BD]\).
• ب) لحساب \(AC\)، نطبق مبرهنة فيثاغورس في المثلث \(ABC\) القائم في \(B\).
  \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72\).
  إذن، \(AC = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\).

2) أ) بيّن أن DI = 3√5

• نعتبر المثلث \(DCI\) القائم في \(C\).
  لدينا \(DC=6\). و \(I\) هي منتصف \([BC]\)، إذن \(CI = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3\).
  بتطبيق مبرهنة فيثاغورس: \(DI^2 = DC^2 + CI^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45\).
  إذن، \(DI = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\).

2) ب) بيّن أن J مركز ثقل المثلث BCD

• في المثلث \(BCD\)، القطعة \([CO]\) هي موسط لأن \(O\) منتصف القطر \([BD]\).
  القطعة \([DI]\) هي موسط لأن \(I\) منتصف الضلع \([BC]\).
• \(J\) هي نقطة تقاطع \((AC)\) و \((DI)\). بما أن \(O \in (AC)\)، فإن \((AC)\) هو نفسه \((CO)\).
  إذن \(J\) هي نقطة تقاطع الموسطين \((CO)\) و \((DI)\).
• نقطة تلاقي الموسطات في مثلث هي مركز ثقله. إذن، \(J\) هي مركز ثقل المثلث \(BCD\).

2) ج) استنتج أن DJ = 2√5

• بما أن \(J\) هي مركز ثقل \(\triangle BCD\)، فإنها تقسم الموسط \([DI]\) بنسبة \(2:1\) من جهة الرأس \(D\).
• إذن، \(DJ = \frac{2}{3} DI\).
• \(DJ = \frac{2}{3} \times 3\sqrt{5} = 2\sqrt{5}\).

3) أ) بيّن أن المثلث KBI قائم الزاوية

• النقطة \(K\) تنتمي للدائرة التي قطرها \([BI]\).
• أي مثلث رؤوسه تنتمي لدائرة وأحد أضلاعه قطر في هذه الدائرة يكون مثلثًا قائمًا.
• إذن، المثلث \(KBI\) قائم الزاوية في \(K\). وبالتالي \((KB) \perp (KI)\).

3) ب) استنتج أن (KI) // (AC)

• في المربع، قطراه متعامدان. إذن \((AC) \perp (BD)\).
• أثبتنا في (3أ) أن \((KI) \perp (KB)\). بما أن \(K\) و \(B\) تنتميان إلى المستقيم \((BD)\)، فإن \((KI) \perp (BD)\).
• لدينا \((AC) \perp (BD)\) و \((KI) \perp (BD)\).
• مستقيمان عموديان على نفس المستقيم هما متوازيان. إذن، \((KI) // (AC)\).

3) ج) بيّن أن K هي منتصف [BO]

• نعتبر المثلث \(BCO\). لدينا \(I\) منتصف \([BC]\).
• لدينا \((KI) // (AC)\) و \((OC)\) هو نفسه \((AC)\). إذن \((KI) // (OC)\).
• في المثلث \(BCO\)، المستقيم \((KI)\) يمر من منتصف الضلع \([BC]\) وهو \(I\)، ويوازي الضلع \((OC)\).
• حسب مبرهنة المنتصفين العكسية، فإن هذا المستقيم يقطع الضلع الثالث \([BO]\) في منتصفه.
• النقطة \(K\) هي نقطة تقاطع \((KI)\) و \((BO)\). إذن، \(K\) هي منتصف \([BO]\).