سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

الحل المفصل للتمرين 4

1) تحديد مركز ثقل المثلث ABC

• بما أن C هي مناظرة B بالنسبة لـ I، فإن I هي منتصف القطعة [BC]. إذن، المستقيم (AI) هو حامل الموسط الصادر من الرأس A في المثلث ABC.
• بما أن O هو مركز الدائرة التي قطرها [AB]، فإن O هو منتصف القطعة [AB]. إذن، المستقيم (OC) هو حامل الموسط الصادر من الرأس C في المثلث ABC.
• النقطة G هي نقطة تقاطع (AI) و (OC)، وهما حاملا موسطين في المثلث ABC.
• إذن، G هي مركز ثقل المثلث ABC.

2) أ) بيّن أن AOJI متوازي أضلاع

• لدينا O منتصف [AB]، إذن \(AO = \frac{1}{2}AB\).
• بما أن G هي مركز ثقل المثلث ABC، فإن المستقيم (BG) هو حامل الموسط الثالث. وبما أنه يقطع (AC) في J، فإن J هي منتصف القطعة [AC].
• في المثلث ABC، لدينا I منتصف [BC] و J منتصف [AC]. حسب مبرهنة المنتصفين، فإن المستقيم (IJ) يوازي المستقيم (AB) وطول القطعة [IJ] يساوي نصف طول [AB].
• إذن، \((IJ) // (AB)\) و \(IJ = \frac{1}{2}AB\).
• بما أن O نقطة من (AB)، فإن (AB) هو نفسه (AO). إذن \((IJ) // (AO)\).
• ولدينا \(IJ = \frac{1}{2}AB\) و \(AO = \frac{1}{2}AB\)، إذن \(IJ = AO\).
• الرباعي AOJI له ضلعان متقابلان [AO] و [JI] متوازيان ومتقايسان.
• إذن، الرباعي AOJI هو متوازي أضلاع. (ملاحظة: قد يكون هناك خطأ في تسمية الرباعي في نص التمرين، والصحيح هو AOJI).

2) ب) بيّن أن (CH) يعامد (IJ)

• H هي نقطة تقاطع (BG) و (AI). بما أن G هي أيضا نقطة تقاطع (BG) و (AI)، فإن النقطتين H و G متطابقتان. إذن H=G. المطلوب هو إثبات أن \((CG) \perp (IJ)\).
• أثبتنا أن \((IJ) // (AB)\). إذن، يكفي أن نثبت أن \((CG) \perp (AB)\).
• المستقيم (CG) هو نفسه المستقيم (CO) لأن C, G, O على استقامة واحدة (G مركز ثقل و (CO) موسط). إذن المطلوب هو إثبات أن \((CO) \perp (AB)\).
• المستقيم (CO) هو حامل الموسط المتعلق بالضلع [AB]. لكي يكون هذا الموسط عموديا على الضلع [AB]، يجب أن يكون المثلث ABC متساوي الساقين في C، أي \(AC=BC\).
• لنتحقق من هذا الشرط:
  • I نقطة من الدائرة التي قطرها [AB]، إذن المثلث AIB قائم في I.
  • بتطبيق فيثاغورس في المثلث AIB: \(AI^2 + BI^2 = AB^2\). \(AI^2 + 6^2 = 10^2 \implies AI^2 + 36 = 100 \implies AI^2 = 64 \implies AI = 8\).
  • في المثلث ABC، المستقيم (AI) هو حامل الارتفاع (لأن \(AI \perp IB \implies AI \perp BC\)) وهو أيضا حامل الموسط (لأن I منتصف BC). إذن المثلث ABC متساوي الساقين في A، أي \(AB = AC = 10\).
  • طول الضلع [BC] هو \(BC = 2 \times BI = 2 \times 6 = 12\).
  • وجدنا أن \(AC=10\) و \(BC=12\). بما أن \(AC \neq BC\)، فإن المثلث ABC ليس متساوي الساقين في C.
• الاستنتاج: المستقيم (CO) ليس عموديا على (AB)، وبالتالي \((CG)\) ليس عموديا على \((IJ)\). الادعاء في السؤال خاطئ بناء على المعطيات الأولية.

3) حساب CQ

• بناء على التحليل السابق، H=G، إذن (CH) هي (CG) وهي (CO).
• Q هي نقطة تقاطع (CH) و (AB)، إذن Q هي نقطة تقاطع (CO) و (AB). بما أن O تنتمي لـ(AB)، فإن نقطة التقاطع هي O نفسها. إذن Q=O.
• المطلوب هو حساب طول CQ، أي طول CO.
• CO هو طول الموسط الصادر من C في المثلث ABC. نستخدم مبرهنة الموسط:
• \(CA^2 + CB^2 = 2CO^2 + \frac{AB^2}{2}\)
• \(10^2 + 12^2 = 2CO^2 + \frac{10^2}{2}\)
• \(100 + 144 = 2CO^2 + 50\)
• \(244 = 2CO^2 + 50 \implies 2CO^2 = 194 \implies CO^2 = 97\)
• إذن، \(CQ = CO = \sqrt{97}\).