سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

الحل المفصل للتمرين 5

1) بناء المثلث وبيان أن OAB متساوي الساقين

• نلاحظ أن \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\). إذن \(AC^2 + AB^2 = BC^2\).
• حسب المبرهنة العكسية لفيثاغورس، فإن المثلث ABC قائم الزاوية في A.
• O هي منتصف الوتر [BC]. في المثلث القائم، الموسط الصادر من رأس الزاوية القائمة يساوي نصف طول الوتر.
• إذن، \(OA = \frac{1}{2}BC = \frac{5}{2} = 2.5\).
• لدينا أيضا \(OB = \frac{1}{2}BC = 2.5\).
• بما أن \(OA = OB = 2.5\)، فإن المثلث OAB متساوي الساقين في O.

2) بيان أن الرباعي MIAJ مستطيل

• لدينا I المسقط العمودي لـ M على (AB)، إذن \((MI) \perp (AB)\)، وبالتالي الزاوية \(M\hat{I}A\) قائمة.
• لدينا J المسقط العمودي لـ M على (AC)، إذن \((MJ) \perp (AC)\)، وبالتالي الزاوية \(M\hat{J}A\) قائمة.
• المثلث ABC قائم في A، إذن الزاوية \(I\hat{A}J\) قائمة.
• الرباعي MIAJ له ثلاث زوايا قائمة، إذن هو مستطيل.

3) أ) حصر لـ x

• النقطة M تنتمي للقطعة [BC]، إذن المسافة BM تكون بين 0 وطول القطعة BC.
• إذن، \(0 \le x \le 5\).

3) ب) إثبات أن \(IM = \frac{3x}{5}\)

• في المثلث ABC، لدينا \(M \in (BC)\) و \(I \in (AB)\).
• لدينا \((MI) \perp (AB)\) و \((AC) \perp (AB)\)، إذن \((MI) // (AC)\).
• بتطبيق مبرهنة طاليس في المثلث BAC مع المستقيمين المتوازيين (MI) و (AC):
• \(\frac{BM}{BC} = \frac{BI}{BA} = \frac{IM}{AC}\).
• بالتعويض من العلاقة الأولى والثالثة: \(\frac{x}{5} = \frac{IM}{3}\).
• إذن، \(IM = \frac{3x}{5}\).

3) ت) حساب CM و JM

• \(CM = BC - BM = 5 - x\).
• في المثلث ABC، لدينا \(M \in (BC)\) و \(J \in (AC)\).
• لدينا \((MJ) \perp (AC)\) و \((AB) \perp (AC)\)، إذن \((MJ) // (AB)\).
• بتطبيق مبرهنة طاليس في المثلث CAB مع المستقيمين المتوازيين (MJ) و (AB):
• \(\frac{CM}{CB} = \frac{CJ}{CA} = \frac{JM}{AB}\).
• بالتعويض من العلاقة الأولى والثالثة: \(\frac{5-x}{5} = \frac{JM}{4}\).
• إذن، \(JM = \frac{4(5-x)}{5}\).

3) ث) إيجاد x ليكون IMJ متقايس الضلعين في M

• المثلث IMJ متقايس الضلعين قمته M يعني أن \(IM = JM\).
• \(\frac{3x}{5} = \frac{4(5-x)}{5}\).
• \(3x = 4(5-x) \implies 3x = 20 - 4x \implies 7x = 20 \implies x = \frac{20}{7}\).
• (نلاحظ أن \(0 \le \frac{20}{7} \le 5\)، إذن القيمة مقبولة).

3) ج) إيجاد AM ليكون MIAJ مربعًا

• الرباعي MIAJ هو مستطيل. ليكون مربعًا، يجب أن يكون له ضلعان متجاوران متقايسان، مثلا \(IM = IA\).
• من مبرهنة طاليس في خطوة ب): \(\frac{BI}{BA} = \frac{BM}{BC} \implies \frac{BI}{4} = \frac{x}{5} \implies BI = \frac{4x}{5}\).
• \(IA = AB - BI = 4 - \frac{4x}{5} = \frac{20-4x}{5}\).
• شرط المربع هو \(IM=IA\): \(\frac{3x}{5} = \frac{20-4x}{5}\).
• هذه نفس معادلة السؤال السابق، وحلها هو \(x = \frac{20}{7}\).
• عندما يكون \(x = \frac{20}{7}\)، يصبح الرباعي مربعًا. المطلوب هو حساب البعد AM.
• في هذه الحالة، MIAJ مربع، و [AM] هو قطر فيه. المثلث AIM قائم في I.
• \(IM = \frac{3x}{5} = \frac{3}{5} \times \frac{20}{7} = \frac{12}{7}\).
• \(IA = IM = \frac{12}{7}\).
• بتطبيق فيثاغورس في المثلث AIM: \(AM^2 = IA^2 + IM^2 = (\frac{12}{7})^2 + (\frac{12}{7})^2 = 2 \times (\frac{12}{7})^2\).
• \(AM = \sqrt{2 \times (\frac{12}{7})^2} = \frac{12}{7}\sqrt{2}\).