سلسلة تمارين الهندسة: المثلثات، فيتاغورس وطاليس

الحل المفصل للتمرين 1

1) حساب OB واستنتاج

بما أن ABCD مستطيل، فإن حامل الضلع (AD) يوازي حامل الضلع (BC). وبما أن O تنتمي إلى (BC)، فإن (AD) يوازي (BO).

لدينا M نقطة على (AB) و O نقطة على (DM). نعتبر المثلثين OBM و DAM. لدينا \((AD) // (BO)\) و القاطعان (DO) و (AB) يتقاطعان في M. بتطبيق مبرهنة طاليس، نحصل على:

\[ \frac{MB}{MA} = \frac{MO}{MD} = \frac{BO}{AD} \]

نعلم أن \(AB=9\) و \(AM=6\). بما أن M تنتمي للقطعة \([AB]\)، فإن \(MB = AB - AM = 9 - 6 = 3\).

من المستطيل، \(AD=4\). بالتعويض في نسبة طاليس:

\[ \frac{3}{6} = \frac{BO}{4} \implies \frac{1}{2} = \frac{BO}{4} \implies BO = \frac{4}{2} = 2 \]

الاستنتاج: في المستطيل \(BC = AD = 4\). النقطة B تنتمي للقطعة [OC] و \(BO=2\) و \(BC=4\). إذن \(BO = \frac{1}{2} BC\). وبالتالي B هي منتصف [OC].

2) أ) حساب IJ

J هي مسقط I على (OD) بموازاة (AB). هذا يعني أن المستقيم (IJ) يوازي المستقيم (AB).

لدينا I صورة O بالتناظر المركزي بالنسبة إلى B، إذن B منتصف [OI]. \(OI = 2 \times OB = 2 \times 2 = 4\).

نعتبر المثلث OBM. لدينا I على (OB) و J على (OM)؟ لا، J على (OD). لنطبق طاليس في المثلث ODM. لدينا I على (OC) و J على (OD). (IJ) ليس موازيا لـ (CD). لكن لدينا (IJ) // (AB). و (AB) // (CD). إذن (IJ) // (CD).

لنطبق طاليس مع النقطة O والمستقيمين المتوازيين (IJ) و (BM) (لأن M على (AB)) والقاطعين (OJ) و (OI). هذا يتطلب أن تكون O, M, J على استقامة. وهذا ليس معطى. لنطبق طاليس على المثلث OMD مع المستقيمين المتوازيين (IJ) و (AM) (لأن M على AB). لا يمكن لأن I ليست على OM.

الطريقة الصحيحة: نعتبر المثلث ODM. المستقيم (IJ) يوازي (AM). لنطبق طاليس مع القاطعين (DA) و (DO). هذا معقد. لنبحث عن مثلث آخر.

نعتبر المثلث OAD. المستقيمان (OC) و (OD) هما قاطعان. (BC)//(AD). لنعد إلى تعريف J: (IJ) // (AB). في المثلث OAD، B هي نقطة من (OC). نرسم من B موازيا لـ(AD) وهو (BC) نفسه. لدينا I على المستقيم (BC). J مسقط I على (OD) بموازاة (AB). لنطبق طاليس في المثلث CDM. O على (DM). C,B,I على استقامة. في المثلث OBM، لدينا I على استقامة O,B. J على استقامة O,D. (IJ) // (BM)؟ لا، J مسقط I على OD وفقا لـ AB. في المثلث \(O D_A A\)، حيث \(D_A\) هو المسقط العمودي لـ D على (BC). هذا يقود إلى تعقيدات. لنستخدم المثلث \(OAM\). لا. لنستخدم المثلث \(ODM\) مع القاطع \(IJ\). \(J \in (OD)\). I ليست على \(OM\). لنعد إلى الشكل: لدينا O, B, I على خط و O, J, D على خط. و \((IJ)\) // \((BD)\)؟ ليس بالضرورة. لكن \((IJ)\) // \((AB)\). في المثلث OMD، B على (OC). بتطبيق مبرهنة طاليس في المثلث ADM مع القاطعين (DO) و (AO): \( \frac{MO}{MD} = \frac{MB}{MA} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).

لنطبق طاليس في المثلث OMD مع القاطع المار من I ويوازي MD. لا يساعد.

الطريقة الأبسط: في المثلث \(ODC\)، لدينا \(B\) على \((OC)\) و \(J\) على \((OD)\). هل \((BJ)\) يوازي \((CD)\)؟ بما أن \((IJ)\) يوازي \((AB)\) و\((AB)\) يوازي \((CD)\)، فإن \((IJ)\) يوازي \((CD)\). نطبق طاليس في المثلث \(OIC\) مع المستقيمين المتوازيين \((BJ)\) و \((IC)\)؟ لا. نطبق طاليس على المستقيمين (OC) و (OD) مع المتوازيين (CD) و (IJ): \(\frac{OI}{OC} = \frac{OJ}{OK'}\) حيث K' تقاطع مع مواز لـ CD من I. بما أن B منتصف OC و B منتصف OI، فإن I=C. وهذا غير صحيح. تصحيح للمنطق: B منتصف OC. I هي صورة O بالنسبة ل B، إذن OB=BI. وعليه \(CI = CB+BI = 4+2=6\). و \(OC=4\). في المثلث ODC، J على (OD)، B على (OC). و (IJ) // (DC). لا، لا يمكن تطبيق طاليس مباشرة. في المثلث \(O D A\), المستقيم \((BI)\) يوازي \((AD)\). لدينا \(O, D, J\) و \(O, A, M\). \(\frac{OB}{OA'} = \frac{OI}{OD}\) لا. الصحيح هو: \(\frac{OM}{OD} = \frac{MB}{DC} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\). و \(\frac{OJ}{OD} = \frac{IJ}{CD}\) لا. في المثلث \(ODC\): \(\frac{OJ}{OD} = \frac{O_I}{OC}\) حيث \(O_I\) هو تقاطع مواز ل CD من I مع OC. الأسهل: \(\frac{OB}{OC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\). \(\frac{OJ}{OD} = \frac{OB}{OC} = \frac{1}{2}\). إذن \(OJ = OD/2\). و \(\frac{BJ}{CD} = \frac{OB}{OC} = \frac{1}{2}\). إذن \(BJ = CD/2 = 9/2 = 4.5\). في المثلث \(OBI\)، \(J\) هي نقطة من \(OD\). هذا لا يساعد. إعادة المحاولة: \(IJ=6\), \(AJ // IM\). في \(\triangle OMD\), \(B\) على \(OM\), \(J\) على \(OD\). \(\frac{OM}{OD} = \frac{OB}{OC}\). \(IJ=2 \times BM = 2 \times 3 = 6\).