\[E = x^2+6x+5 \qquad F = (x+3)(2x-2)\]
1- أحسب \(E\) إذا \(x = 1-\sqrt{2}\)
2- أ- بيّن أن \(E = (x+3)^2-4\) ؛ ب- استنتج تفكيكاً لـ \(E\)
3- بيّن أن \(E+F = (x-1)(3x+13)\)
4- أوجد \(x\) حيث \(x^2+6x+5 = (3+x)(2x-2)\)
1) \(E = (1-\sqrt{2}+3)^2-4 = (4-\sqrt{2})^2-4 = 16-8\sqrt{2}+2-4 = 14-8\sqrt{2}\)
2-ب) \(E = (x+3+2)(x+3-2) = (x+5)(x+1)\)
3) \(F = (x+3)(2x-2) = 2(x+3)(x-1)\)
\(E+F = (x+5)(x+1)+2(x+3)(x-1)\)
\(= (x+1)(x+5)+2(x-1)(x+3)\)... ننشر ونجمع :
\(= x^2+6x+5+2x^2+4x-6 = 3x^2+10x-1\)... أو نفكّك مباشرة.
في الواقع : \(E+F = (x-1)(x+5)+2(x-1)(x+3)+(x+1-x+1)(...)\ )\)
نجرب : \((x-1)(3x+13) = 3x^2+13x-3x-13 = 3x^2+10x-13\)
ننشر \(E+F\) : \((x^2+6x+5)+(2x^2+4x-6) = 3x^2+10x-1\)
ملاحظة : الإجابة الصحيحة هي \(E+F = (x-1)(3x+13)\) إذا كان \(F=(x+3)(2x-2)\) :
\(F = 2x^2+6x-2x-6 = 2x^2+4x-6\)
\(E+F = x^2+6x+5+2x^2+4x-6 = 3x^2+10x-1\)
تحقق : \((x-1)(3x+13) = 3x^2+13x-3x-13 = 3x^2+10x-13 \neq 3x^2+10x-1\)
→ يبدو أن في النص خطأ مطبعي. الصحيح هو \(F = (x+3)(2x+2)\) أو يجب إعادة الفحص :
إذا \(F=(x+3)(2x+2) = 2(x+3)(x+1)\) :
\(E+F = (x+5)(x+1)+2(x+3)(x+1) = (x+1)(x+5+2x+6) = (x+1)(3x+11)\)
أو ربما \(E+F = (x-1)(3x+13)\) بنسخة مختلفة. نعمل بالنص كما هو ونتحقق :
4) \(E = F\) → \(E-F=0\) → \((x+5)(x+1)-(x+3)(2x-2)=0\)
\(= (x+5)(x+1)-2(x+3)(x-1) = 0\)
\(= x^2+6x+5-2x^2-4x+6 = 0\)... لكن استعمال التفكيك أفضل.
\[x+3 = 4-\sqrt{2}\]
\[E = (x+3)^2-4 = (4-\sqrt{2})^2-4 = 16-8\sqrt{2}+2-4 = \boxed{14-8\sqrt{2}}\]
2-أ) إثبات \(E = (x+3)^2-4\) :\[(x+3)^2-4 = x^2+6x+9-4 = x^2+6x+5 = E \checkmark\]
2-ب) تفكيك \(E\) :\[E = (x+3)^2-2^2 = \boxed{(x+5)(x+1)}\]
3) إثبات \(E+F = (x-1)(3x+13)\) :نُنشر \(F = (x+3)(2x-2) = 2x^2-2x+6x-6 = 2x^2+4x-6\)
\[E+F = (x^2+6x+5)+(2x^2+4x-6) = 3x^2+10x-1\]
نتحقق : \((x-1)(3x+11) = 3x^2+11x-3x-11 = 3x^2+8x-11\) ← لا
\((x+1)(3x-1) = 3x^2-x+3x-1 = 3x^2+2x-1\) ← لا
الجواب الصحيح بالتفكيك : \(3x^2+10x-1\) لا يُفكّك بعوامل صحيحة.
ملاحظة للأستاذ : يُرجَّح أن النص الأصلي يحتوي على \(F = (x+3)(2x+2)\) أو أن \(E+F\) يعطي نتيجة مختلفة. نعمل بالإجابة الأقرب للمنطق.
4) حل \(E = F\) :\[E-F = 0 \Rightarrow (x^2+6x+5)-(2x^2+4x-6) = 0\]
\[-x^2+2x+11 = 0\]
\[x^2-2x-11 = 0\]
\[(x-1)^2 = 12\]
\[x-1 = \pm 2\sqrt{3}\]
\[\boxed{x = 1+2\sqrt{3} \quad \text{أو} \quad x = 1-2\sqrt{3}}\]