\[A = x^2-4x+4 \qquad B = 5x^2-12x+4\]
1- أ- فكّك \(A\) ؛ ب- أحسب \(A\) إذا \(x = 2+\sqrt{3}\)
2- أ- بيّن أن \(B = (3x-2)^2-4x^2\) ؛ ب- استنتج تفكيكاً لـ \(B\)
3- أ- بيّن أن \(A+B = 2(x-2)(3x-2)\) ؛ ب- أوجد \(x\) حيث \(A+B=0\)
1-أ) \(A = (x-2)^2\)
1-ب) \(x-2 = \sqrt{3}\) → \(A = (\sqrt{3})^2 = 3\)
2-أ) \((3x-2)^2-4x^2 = 9x^2-12x+4-4x^2 = 5x^2-12x+4 = B\) ✓
2-ب) \(B = (3x-2+2x)(3x-2-2x) = (5x-2)(x-2)\)
3-أ) \(A+B = (x-2)^2+(5x-2)(x-2) = (x-2)(x-2+5x-2) = (x-2)(6x-4) = 2(x-2)(3x-2)\)
3-ب) \((x-2)(3x-2) = 0\) → \(x=2\) أو \(x=\dfrac{2}{3}\)
\[A = x^2-4x+4 = (x-2)^2 = \boxed{(x-2)^2}\]
1-ب) حساب \(A\) عند \(x = 2+\sqrt{3}\) :\[A = (x-2)^2 = (\sqrt{3})^2 = \boxed{3}\]
2-أ) إثبات \(B = (3x-2)^2-4x^2\) :\[(3x-2)^2-4x^2 = 9x^2-12x+4-4x^2 = 5x^2-12x+4 = B \checkmark\]
2-ب) تفكيك \(B\) :\[B = (3x-2)^2-(2x)^2 = \big[(3x-2)+2x\big]\big[(3x-2)-2x\big] = (5x-2)(x-2)\]
\[\boxed{B = (5x-2)(x-2)}\]
3-أ) إثبات \(A+B = 2(x-2)(3x-2)\) :\[A+B = (x-2)^2+(5x-2)(x-2) = (x-2)\big[(x-2)+(5x-2)\big] = (x-2)(6x-4) = 2(x-2)(3x-2) \checkmark\]
3-ب) حل \(A+B = 0\) :\[2(x-2)(3x-2) = 0\]
\[\boxed{x = 2 \quad \text{أو} \quad x = \dfrac{2}{3}}\]