\[A = 4x^2+12x-7\]
① أحسب \(A\) إذا علمت أن \(x = \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\)
② أ- بيّن أن \(A = (2x+3)^2-16\)
ب- استنتج أن \(A = (2x+7)(2x-1)\)
③ \(ABCD\) مستطيل، \(\{E\} = (AB) \cap (DG)\)، \(EB = x+1\)، \(BC = AE\)، \(DC = 2x+3\)، \(x > 0\)
أ- بيّن أن \(BG = x+1\)
ب- جد \(x\) إذا علمت أن مساحة المثلث \(DCG = 8 \text{ cm}^2\)
① \(2x+3 = \sqrt{3}-1+3 = \sqrt{3}+2\)
\(A = (\sqrt{3}+2)^2-16 = 3+4\sqrt{3}+4-16 = -9+4\sqrt{3}\)
②-أ) \((2x+3)^2-16 = 4x^2+12x+9-16 = 4x^2+12x-7 = A\) ✓
②-ب) \(A = (2x+3+4)(2x+3-4) = (2x+7)(2x-1)\)
③-أ) \(ABCD\) مستطيل → \(BC \perp AB\). \(BG \perp BC\) (لأن \(G\) على امتداد \(BC\) أو نستعمل شرط آخر). نبيّن بالتشابه أو خاصية المستطيل أن \(BG = EB = x+1\)
③-ب) مساحة \(DCG = \dfrac{1}{2} \cdot DC \cdot GC\)، \(GC = BC+BG\)، \(BC = AE\)، \(AE = AB-EB = DC-EB = (2x+3)-(x+1) = x+2\)
→ \(GC = (x+2)+(x+1) = 2x+3\)
→ \(\dfrac{1}{2}(2x+3)^2/\)... نحتاج ارتفاع المثلث \(DCG\)
\[2x+3 = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}-1}{2}+3 = (\sqrt{3}-1)+3 = \sqrt{3}+2\]
\[A = (2x+3)^2-16 = (\sqrt{3}+2)^2-16 = 3+4\sqrt{3}+4-16 = \boxed{-9+4\sqrt{3}}\]
②-أ) إثبات \(A = (2x+3)^2-16\) :\[(2x+3)^2-16 = 4x^2+12x+9-16 = 4x^2+12x-7 = A \checkmark\]
②-ب) استنتاج \(A = (2x+7)(2x-1)\) :\[A = (2x+3)^2-4^2 = \big[(2x+3)+4\big]\big[(2x+3)-4\big] = \boxed{(2x+7)(2x-1)}\]
③-أ) إثبات \(BG = x+1\) :\(ABCD\) مستطيل → \(AB \parallel DC\) و \(AB \perp BC\).
\(BC = AE\) (معطى). بما أن \(AB = AE + EB\) و \(AB = DC = 2x+3\) :
\[AE = AB-EB = (2x+3)-(x+1) = x+2\]
إذًا \(BC = x+2\).
\(E\) نقطة تقاطع \((AB)\) و \((DG)\). بما أن \(ABCD\) مستطيل و \(G\) على امتداد \((BC)\) :
في المثلث \(EBG\) : \(EB \perp BG\) (لأن \(BC \perp AB\)) → المثلث قائم في \(B\).
من التشابه في المثلث الكبير مع الوضعية الهندسية :
\(DC \parallel AB\) → المثلثان \(EBG\) و \(DCG\) ... لا نحتاج ذلك.
الأبسط : \(ABCD\) مستطيل → \(AD = BC = x+2\). \(E\) على \((DG)\) و \((AB)\).
في المستطيل، \(D\) يقع مقابل \(A\)، و\(G\) على امتداد \((BC)\).
\(DG\) يقطع \(AB\) في \(E\) مع \(EB = x+1\).
بالتشابه : المثلثان \(AED\) و \(BEG\) متشابهان (زوايا متبادلة) :
\[\dfrac{BG}{AD} = \dfrac{BE}{AE} = \dfrac{x+1}{x+2}\]
لكن \(AD = BC = x+2\) :
\[BG = AD \times \dfrac{BE}{AE} = (x+2) \times \dfrac{x+1}{x+2} = \boxed{x+1}\]
③-ب) جد \(x\) إذا كانت مساحة المثلث \(DCG = 8 \text{ cm}^2\) :المثلث \(DCG\) : القاعدة \(DC = 2x+3\)، الارتفاع = \(BG+BC = (x+1)+(x+2) = 2x+3\)
\[\mathcal{A}_{DCG} = \dfrac{1}{2} \times DC \times GC = \dfrac{1}{2}(2x+3)(2x+3) = \dfrac{(2x+3)^2}{2}\]
نساوي بـ 8 :
\[\dfrac{(2x+3)^2}{2} = 8\]
\[(2x+3)^2 = 16\]
من ② : \(A = (2x+3)^2-16 = 0\) → \(A = 0\) → \((2x+7)(2x-1) = 0\)
\[2x+7 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{7}{2} \quad \text{(مرفوض لأن } x > 0\text{)}\]
\[2x-1 = 0 \Rightarrow \boxed{x = \dfrac{1}{2} \text{ cm}}\]