\[E = (x+1)^2-9 \qquad F = x^2+3x-4 \qquad G = 8-2x-x^2\]
1- أ- احسب \(E\) في حالة \(x = 2\sqrt{2}\)
ب- احسب \(F\) في حالة \(x = \sqrt{2}+1\)
2- أ- أنشر واختصر \(E\)
ب- استنتج أن \(E\) مقابل \(G\)
3- بيّن أن \(F = (x+4)(x-1)\)
4- فكّك \(E\) إلى جذاء عوامل
5- لتكن \(A = E+F\)
أ- بيّن باستعمال التفكيك أن \(A = (2x-3)(x+4)\)
ب- استنتج مجموعة حلول : \((x+1)^2-9 = -x^2-3x+4\)
1-أ) \(E = (2\sqrt{2}+1)^2-9 = 8+4\sqrt{2}+1-9 = 4\sqrt{2}\)
1-ب) \(F = (\sqrt{2}+1)^2+3(\sqrt{2}+1)-4 = 2+2\sqrt{2}+1+3\sqrt{2}+3-4 = 2+5\sqrt{2}\)
2-أ) \(E = x^2+2x+1-9 = x^2+2x-8\)
2-ب) \(E+G = (x^2+2x-8)+(8-2x-x^2) = 0\) ✓
4) \(E = (x+1)^2-3^2 = (x+4)(x-2)\)
5-أ) \(A = (x+4)(x-2)+(x+4)(x-1) = (x+4)(x-2+x-1) = (x+4)(2x-3)\)
5-ب) \((x+1)^2-9 = -x^2-3x+4\) → \(E = -F\) → \(E+F = 0\) → \(A = 0\)
\[E = (2\sqrt{2}+1)^2-9 = (8+4\sqrt{2}+1)-9 = 9+4\sqrt{2}-9 = \boxed{4\sqrt{2}}\]
1-ب) حساب \(F\) عند \(x = \sqrt{2}+1\) :\[F = (\sqrt{2}+1)^2+3(\sqrt{2}+1)-4\]
\[= 2+2\sqrt{2}+1+3\sqrt{2}+3-4 = 2+5\sqrt{2}\]
\[\boxed{F = 2+5\sqrt{2}}\]
2-أ) نشر \(E\) :\[E = (x+1)^2-9 = x^2+2x+1-9 = \boxed{x^2+2x-8}\]
2-ب) \(E\) مقابل \(G\) :\[E+G = (x^2+2x-8)+(8-2x-x^2) = 0\]
بما أن \(E+G = 0\) → \(\boxed{E \text{ و } G \text{ متقابلان}}\)
3) إثبات \(F = (x+4)(x-1)\) :\[(x+4)(x-1) = x^2-x+4x-4 = x^2+3x-4 = F \checkmark\]
4) تفكيك \(E\) :\[E = (x+1)^2-3^2 = \big[(x+1)+3\big]\big[(x+1)-3\big] = \boxed{(x+4)(x-2)}\]
5-أ) إثبات \(A = (2x-3)(x+4)\) :\[A = E+F = (x+4)(x-2)+(x+4)(x-1)\]
\[= (x+4)\big[(x-2)+(x-1)\big]\]
\[= (x+4)(2x-3)\]
\[\boxed{A = (x+4)(2x-3)} \checkmark\]
5-ب) مجموعة حلول \((x+1)^2-9 = -x^2-3x+4\) :نُعيد كتابة الطرف الأيمن : \(-x^2-3x+4 = -(x^2+3x-4) = -F\)
إذًا المعادلة هي : \(E = -F\) أي \(E+F = 0\) أي \(A = 0\)
\[(x+4)(2x-3) = 0\]
\[x+4 = 0 \quad \text{أو} \quad 2x-3 = 0\]
\[\boxed{S = \left\{-4 \;;\; \dfrac{3}{2}\right\}}\]