\[M = x^2 + 6x + 5 \qquad N = x^2 + (x+1)^2 - 1\]
1- أحسب \(M\) في حالة \(x = \sqrt{3} - 1\)
2- أ- بيّن أن \(M = (x+3)^2 - 4\) ثم استنتج تفكيكاً لـ \(M\)
3- فكّك \((x+1)^2 - 1\) ثم استنتج تفكيكاً لـ \(N\)
4- أوجد \(x\) في حالة \(N = M\)
5- شبه منحرف \(ABCD\) قائم في \(A\) و \(D\) حيث \(AB = x+5\)، \(AD = x+1\)، \(CD = 2x\)، \(x > 1\). أوجد \(x\) إذا كان للمثلثين \(ABD\) و \(ACD\) نفس المساحة.
1) عوّض \(x = \sqrt{3}-1\) في \(M = (x+3)^2-4\) : \(x+3 = \sqrt{3}+2\)
2-أ) \((x+3)^2-4 = x^2+6x+9-4 = x^2+6x+5 = M\) ✓
2-ب) \(M = (x+3+2)(x+3-2) = (x+5)(x+1)\)
3) \((x+1)^2-1 = (x+1+1)(x+1-1) = (x+2)x\)
\(N = x^2 + x(x+2) = x^2+x^2+2x = 2x^2+2x = 2x(x+1)\)
4) \(N = M\) → \(2x(x+1) = (x+5)(x+1)\) → \((x+1)(2x-x-5)=0\)
5) مساحة \(ABD = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB = \frac{1}{2}(x+1)(x+5)\)
مساحة \(ACD = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \frac{1}{2}(x+1)(2x)\)
نساوي ونحل
\[M = (\sqrt{3}-1)^2 + 6(\sqrt{3}-1) + 5 = 3-2\sqrt{3}+1+6\sqrt{3}-6+5 = 3 + 4\sqrt{3}\]
أو باستعمال \(M = (x+3)^2-4\) :
\[x+3 = \sqrt{3}+2 \Rightarrow M = (\sqrt{3}+2)^2-4 = 3+4\sqrt{3}+4-4 = \boxed{3+4\sqrt{3}}\]
2-أ) إثبات \(M = (x+3)^2-4\) :\[(x+3)^2-4 = x^2+6x+9-4 = x^2+6x+5 = M \checkmark\]
2-ب) تفكيك \(M\) :\[M = (x+3)^2-2^2 = \boxed{(x+5)(x+1)}\]
3) تفكيك \((x+1)^2-1\) واستنتاج تفكيك \(N\) :\[(x+1)^2-1^2 = \big[(x+1)+1\big]\big[(x+1)-1\big] = (x+2)(x)\]
\[N = x^2 + (x+1)^2-1 = x^2 + x(x+2) = x^2+x^2+2x = 2x^2+2x\]
\[\boxed{N = 2x(x+1)}\]
4) حل \(N = M\) :\[2x(x+1) = (x+5)(x+1)\]
\[2x(x+1)-(x+5)(x+1) = 0\]
\[(x+1)\big[2x-(x+5)\big] = 0\]
\[(x+1)(x-5) = 0\]
\[\boxed{x = -1 \quad \text{أو} \quad x = 5}\]
5) مسألة شبه المنحرف :شبه المنحرف \(ABCD\) قائم في \(A\) و \(D\) → \(AD \perp AB\) و \(AD \perp CD\)
مساحة المثلث \(ABD\) (القاعدة \(AB\)، الارتفاع \(AD\)) :
\[\mathcal{A}_{ABD} = \dfrac{1}{2} \times AB \times AD = \dfrac{1}{2}(x+5)(x+1)\]
مساحة المثلث \(ACD\) (القاعدة \(CD\)، الارتفاع \(AD\)) :
\[\mathcal{A}_{ACD} = \dfrac{1}{2} \times CD \times AD = \dfrac{1}{2}(2x)(x+1)\]
نساوي :
\[\dfrac{1}{2}(x+5)(x+1) = \dfrac{1}{2}(2x)(x+1)\]
\[(x+1)\big[(x+5)-2x\big] = 0\]
\[(x+1)(5-x) = 0\]
\(x > 1\) → \(x+1 \neq 0\) → \(\boxed{x = 5}\)