التمرين رقم 9

→ السابق ☰ ← التالي
التمرين رقم 9الجذاآت المعتبرة

\[A = \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2 - 2x\]

1- أ- بيّن أن \(A = x^2-x+\dfrac{1}{4}\)

ب- أحسب \(A\) إذا علمت أن \(x = \sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\)

ج- فكّك \(A\) إلى جذاء عوامل

د- أوجد \(x\) في حالة \(A = \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{2}\)

2- لتكن \(B = 25x^2\)

أ- فكّك \(B-A\)

ب- أوجد \(x\) بحيث \(A^2 - A \times B = A \times B - B^2\)

💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • 1-أ) انشر \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2\) ثم اطرح \(2x\)
  • 1-ج) \(A = x^2-x+\dfrac{1}{4} = \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\) — مربع كامل
  • 2-أ) \(B-A = 25x^2-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\) — فرق مربعين
  • 2-ب) \(A^2-AB = AB-B^2\) → \(A^2-2AB+B^2=0\) → \((A-B)^2=0\)

📝 الطريقة

1-أ) \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-2x = x^2+x+\dfrac{1}{4}-2x = x^2-x+\dfrac{1}{4}\) ✓

1-ج) \(A = x^2-x+\dfrac{1}{4} = \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\)

2-أ) \(B-A = (5x)^2-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 = \left(5x+x-\dfrac{1}{2}\right)\left(5x-x+\dfrac{1}{2}\right) = \left(6x-\dfrac{1}{2}\right)\left(4x+\dfrac{1}{2}\right)\)

2-ب) \(A^2-AB = AB-B^2\) → \(A^2-2AB+B^2=0\) → \((A-B)^2=0\) → \(A=B\)

✅ الحل الكامل

1-أ) إثبات \(A = x^2-x+\dfrac{1}{4}\) :

\[A = \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2-2x = x^2+2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-2x = x^2+x+\dfrac{1}{4}-2x = \boxed{x^2-x+\dfrac{1}{4}}\]

1-ب) حساب \(A\) عند \(x = \sqrt{2}-\dfrac{1}{2}\) :

\[A = \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 = \left(\sqrt{2}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right)^2 = (\sqrt{2}-1)^2 = 2-2\sqrt{2}+1 = \boxed{3-2\sqrt{2}}\]

1-ج) تفكيك \(A\) :

\[A = x^2-x+\dfrac{1}{4} = \boxed{\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2}\]

1-د) حل \(A = \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{2}\) :

\[\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{x}{2}(x-1) = \dfrac{x}{2}\left(x-1\right)\]

ننشر الطرف الأيسر :

\[x^2-x+\dfrac{1}{4} = \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{2}\]

\[x^2-x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x}{2} = 0\]

\[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{4} = 0\]

نضرب في 4 :

\[2x^2-2x+1 = 0\]

المميز : \(\Delta = 4-8 = -4 < 0\) → لا يوجد حل حقيقي ← المجموعة الفارغة \(\emptyset\)

2-أ) تفكيك \(B-A\) :

\[B-A = 25x^2-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 = (5x)^2-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\]

\[= \left[5x+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\right]\left[5x-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\right]\]

\[= \left(6x-\dfrac{1}{2}\right)\left(4x+\dfrac{1}{2}\right)\]

\[\boxed{= \dfrac{1}{4}(12x-1)(8x+1)}\]

2-ب) حل \(A^2-AB = AB-B^2\) :

\[A^2-AB-AB+B^2 = 0\]

\[A^2-2AB+B^2 = 0\]

\[(A-B)^2 = 0\]

\[A = B\]

\[\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 = 25x^2\]

\[(5x)^2 - \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2 = 0\]

\[\left(6x-\dfrac{1}{2}\right)\left(4x+\dfrac{1}{2}\right) = 0\]

\[x = \dfrac{1}{12} \quad \text{أو} \quad x = -\dfrac{1}{8}\]

\[\boxed{S = \left\{\dfrac{1}{12} \;;\; -\dfrac{1}{8}\right\}}\]