\[A = (x\sqrt{3}+1)^2 - (x-\sqrt{3})^2 \qquad B = (x\sqrt{2}+1)(x\sqrt{2}-1)\]
1- أنشر واختصر \(A\) و \(B\)
2- اكتب \(A\) على شكل جذاء عوامل
3- جد مجموعة الأعداد الحقيقية \(x\) حيث \(A = 0\)
4- جد مجموعة الأعداد الحقيقية \(x\) حيث \(A\) هو مقابل \(B\)
\[(x\sqrt{3}+1)^2 = 3x^2+2\sqrt{3}x+1\]
\[(x-\sqrt{3})^2 = x^2-2\sqrt{3}x+3\]
\[A = (3x^2+2\sqrt{3}x+1)-(x^2-2\sqrt{3}x+3) = 2x^2+4\sqrt{3}x-2\]
1) نشر \(B\) :\[B = (x\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2x^2 - 1\]
2) تفكيك \(A\) :\[A = 2x^2+4\sqrt{3}x-2 = 2(x^2+2\sqrt{3}x-1)\]
لتفكيك \(x^2+2\sqrt{3}x-1\) : نكتبه على شكل فرق مربعين
\[x^2+2\sqrt{3}x-1 = (x+\sqrt{3})^2-3-1 = (x+\sqrt{3})^2-4\]
\[= (x+\sqrt{3}-2)(x+\sqrt{3}+2)\]
إذًا : \(A = 2(x+\sqrt{3}-2)(x+\sqrt{3}+2)\)
3) \(A = 0\) :\[x = 2-\sqrt{3} \quad \text{أو} \quad x = -2-\sqrt{3}\]
4) \(A + B = 0\) :\[(2x^2+4\sqrt{3}x-2)+(2x^2-1) = 0\]
\[4x^2+4\sqrt{3}x-3 = 0\]
نحسب المميز أو نُكمل المربع
\[(x\sqrt{3}+1)^2 = (\sqrt{3})^2 x^2 + 2\sqrt{3}x + 1 = 3x^2 + 2\sqrt{3}x + 1\]
\[(x-\sqrt{3})^2 = x^2 - 2\sqrt{3}x + (\sqrt{3})^2 = x^2 - 2\sqrt{3}x + 3\]
\[A = (3x^2+2\sqrt{3}x+1) - (x^2-2\sqrt{3}x+3)\]
\[\boxed{A = 2x^2 + 4\sqrt{3}x - 2}\]
نشر واختصار \(B\) :\[B = (x\sqrt{2}+1)(x\sqrt{2}-1) = (x\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2x^2 - 1\]
\[\boxed{B = 2x^2 - 1}\]
2) تفكيك \(A\) إلى جذاء عوامل :\[A = 2x^2 + 4\sqrt{3}x - 2 = 2(x^2 + 2\sqrt{3}x - 1)\]
نُكمل المربع :
\[x^2 + 2\sqrt{3}x - 1 = (x+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2 - 1 = (x+\sqrt{3})^2 - 3 - 1 = (x+\sqrt{3})^2 - 4\]
\[(x+\sqrt{3})^2 - 4 = (x+\sqrt{3}+2)(x+\sqrt{3}-2)\]
إذًا :
\[\boxed{A = 2(x+\sqrt{3}+2)(x+\sqrt{3}-2)}\]
3) مجموعة حلول \(A = 0\) :\[2(x+\sqrt{3}+2)(x+\sqrt{3}-2) = 0\]
\[x + \sqrt{3} + 2 = 0 \quad \text{أو} \quad x + \sqrt{3} - 2 = 0\]
\[\boxed{S = \{-\sqrt{3}-2 \;;\; 2-\sqrt{3}\}}\]
4) مجموعة حلول \(A\) مقابل \(B\) :مقابل يعني : \(A + B = 0\)
\[(2x^2 + 4\sqrt{3}x - 2) + (2x^2 - 1) = 0\]
\[4x^2 + 4\sqrt{3}x - 3 = 0\]
نُكمل المربع :
\[4\left(x^2 + \sqrt{3}x\right) = 3\]
\[4\left[\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \dfrac{3}{4}\right] = 3\]
\[4\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 3 = 3\]
\[4\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 6\]
\[\left(x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\]
\[x+\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \quad \text{أو} \quad x+\dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{\sqrt{6}}{2}\]
\[x = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2} \quad \text{أو} \quad x = \dfrac{-\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2}\]
\[\boxed{S = \left\{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2} \;;\; \dfrac{-\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2}\right\}}\]