نعتبر العبارتين :
\[A = x^2 - 25 \qquad B = 3x^2 - 17x + 10\]
1- أحسب \(B\) إذا علمت أن \(x = \dfrac{1}{3} + \sqrt{2}\)
2- بيّن أن \(B = (x-5)(3x-2)\)
3- أوجد العدد \(x\) في كل حالة :
أ- \(A = B\)
ب- \(3A\) و \(B\) متقابلان
1) نعوّض في \(B = (x-5)(3x-2)\) :
2) ننشر \((x-5)(3x-2) = 3x^2 - 2x - 15x + 10 = 3x^2 - 17x + 10 = B\) ✓
3-أ) \(A = B\) → \(x^2 - 25 = (x-5)(3x-2)\) → نفكّك \(A\) ونجمع
3-ب) \(3A + B = 0\) → نفكّك ونحل
\[(x-5)(3x-2) = 3x^2 - 2x - 15x + 10 = 3x^2 - 17x + 10 = B \checkmark\]
1) حساب \(B\) عند \(x = \dfrac{1}{3} + \sqrt{2}\) :باستعمال التفكيك :
\[x - 5 = \dfrac{1}{3} + \sqrt{2} - 5 = \dfrac{1-15}{3} + \sqrt{2} = \dfrac{-14}{3} + \sqrt{2} = \dfrac{-14 + 3\sqrt{2}}{3}\]
\[3x - 2 = 3\left(\dfrac{1}{3}+\sqrt{2}\right) - 2 = 1 + 3\sqrt{2} - 2 = 3\sqrt{2} - 1\]
\[B = \dfrac{(-14+3\sqrt{2})(3\sqrt{2}-1)}{3} = \dfrac{-42\sqrt{2}+14+18-3\sqrt{2}}{3} = \dfrac{32-45\sqrt{2}}{3}\]
3-أ) حل \(A = B\) :\(A = (x-5)(x+5)\) (فرق مربعين)
\[(x-5)(x+5) = (x-5)(3x-2)\]
\[(x-5)(x+5) - (x-5)(3x-2) = 0\]
\[(x-5)\big[(x+5)-(3x-2)\big] = 0\]
\[(x-5)(x+5-3x+2) = 0\]
\[(x-5)(-2x+7) = 0\]
إذًا : \(x - 5 = 0\) أو \(-2x + 7 = 0\)
\[\boxed{x = 5 \quad \text{أو} \quad x = \dfrac{7}{2}}\]
3-ب) \(3A\) و \(B\) متقابلان :متقابلان يعني : \(3A + B = 0\)
\[3(x-5)(x+5) + (x-5)(3x-2) = 0\]
\[(x-5)\big[3(x+5) + (3x-2)\big] = 0\]
\[(x-5)(3x+15+3x-2) = 0\]
\[(x-5)(6x+13) = 0\]
\[\boxed{x = 5 \quad \text{أو} \quad x = -\dfrac{13}{6}}\]