التمرين رقم 1

→ السابق ☰ ← التالي
التمرين رقم 1الجذاآت المعتبرة

نعتبر العبارة \(E = -x^2 + 4x + 4\) حيث \(x\) عدد حقيقي

1- أ- بيّن أن \(E = 8 - (x-2)^2\)

ب- استنتج أن \(E \leq 8\)

2- في حالة \(x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

أ- أحسب \(E\)

ب- استنتج مقارنة لـ \(2\sqrt{3}\) و \(\dfrac{19}{4}\)

💡
📝
✅
لم تبدأ بعد

💡 تلميح

  • 1-أ) انطلق من \(8 - (x-2)^2\) وانشر \((x-2)^2\) للتحقق من المساواة
  • 1-ب) \((x-2)^2 \geq 0\) دائماً — ماذا يعني ذلك بالنسبة لـ \(8 - (x-2)^2\) ؟
  • 2-أ) عوّض مباشرة في صيغة \(8 - (x-2)^2\) أسهل من العبارة الأصلية
  • 2-ب) ستجد أن \(E = \dfrac{19}{4} - 2\sqrt{3}\) — قارن مع \(\dfrac{19}{4}\)

📝 الطريقة

1-أ) ننشر \(8 - (x-2)^2\) ونبيّن مساواتها لـ \(E\)

1-ب) نستعمل أن \((x-2)^2 \geq 0\) → \(-(x-2)^2 \leq 0\) → \(8-(x-2)^2 \leq 8\)

2-أ) نعوّض \(x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) في \(8-(x-2)^2\) ونحسب \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-2\right)^2\)

2-ب) نكتب \(E = \dfrac{19}{4} - 2\sqrt{3}\) ونستنتج المقارنة من \(E \leq 8\)

✅ الحل الكامل

1-أ) إثبات \(E = 8 - (x-2)^2\) :

ننشر الطرف الأيمن :

\[8 - (x-2)^2 = 8 - (x^2 - 4x + 4) = 8 - x^2 + 4x - 4 = -x^2 + 4x + 4\]

وهذا يساوي \(E\) بالضبط. إذًا \(E = 8 - (x-2)^2\). ✓

1-ب) إثبات \(E \leq 8\) :

لأي عدد حقيقي \(x\) : \((x-2)^2 \geq 0\)

إذًا : \(-(x-2)^2 \leq 0\)

إذًا : \(8 - (x-2)^2 \leq 8\)

أي : \(\boxed{E \leq 8}\)

2-أ) حساب \(E\) عند \(x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) :

\[E = 8 - \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - 2\right)^2 = 8 - \left(\dfrac{\sqrt{3} - 4}{2}\right)^2 = 8 - \dfrac{(\sqrt{3}-4)^2}{4}\]

\[(\sqrt{3}-4)^2 = 3 - 8\sqrt{3} + 16 = 19 - 8\sqrt{3}\]

\[E = 8 - \dfrac{19 - 8\sqrt{3}}{4} = \dfrac{32 - 19 + 8\sqrt{3}}{4} = \dfrac{13 + 8\sqrt{3}}{4}\]

تبسيط مفيد : \(\dfrac{13 + 8\sqrt{3}}{4} = \dfrac{13}{4} + 2\sqrt{3}\)

2-ب) مقارنة \(2\sqrt{3}\) و \(\dfrac{19}{4}\) :

من الحساب : \(E = \dfrac{13}{4} + 2\sqrt{3}\)

ومن 1-ب) : \(E \leq 8\)

إذًا : \(\dfrac{13}{4} + 2\sqrt{3} \leq 8\)

\[2\sqrt{3} \leq 8 - \dfrac{13}{4} = \dfrac{32-13}{4} = \dfrac{19}{4}\]

\[\boxed{2\sqrt{3} \leq \dfrac{19}{4}}\]