التمرين رقم 3

التمرين رقم 3الجذاآت المعتبرة

نعتبر العبارة \(A\) حيث \(A = 16 - x^2\)

1- أحسب \(A\) إذا كان \(x = \dfrac{1}{2} - \sqrt{3}\)

2-أ- فكّك \(A\) إلى جذاء عوامل

3- استنتج تفكيكاً للعبارة \(A - \sqrt{48} + x\sqrt{3}\)

4- أوجد \(x\) إذا كان \(A = \sqrt{48} - x\sqrt{3}\)

5- لتكن \(B = -2x^2 - 6x + 8\)

أ- بيّن أن \(A - B = (x+3)^2 - 1\)

ب- استنتج تفكيكاً للعبارة \(A - B\)

6- أوجد \(x\) في حالة :

أ- \(A = B\) ؛ ب- \(A\) و \(B\) متقابلان ؛ ج- \(\sqrt{A - B + 1} = 3\)

💡

📝

✅

لم تبدأ بعد

💡 تلميح

2) \(A = 16 - x^2 = 4^2 - x^2\) → فرق مربعين
3) لاحظ أن \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\) — العبارة \(A - \sqrt{48} + x\sqrt{3}\) = \(A - \sqrt{3}(4-x)\)
5-أ) احسب \(A - B\) ثم أكمل المربع
6-ج) ربّع الطرفين ثم استعمل تفكيك \(A-B\)

📝 الطريقة

1) عوّض في \(A = (4-x)(4+x)\)

2) \(A = (4-x)(4+x)\)

3) \(A - \sqrt{48} + x\sqrt{3} = (4-x)(4+x) - \sqrt{3}(4-x) = (4-x)(4+x-\sqrt{3})\)

4) \(A = \sqrt{48} - x\sqrt{3}\) → \(A - \sqrt{48} + x\sqrt{3} = 0\) → نستعمل التفكيك من 3)

5-أ) \(A - B = (16-x^2)-(-2x^2-6x+8) = x^2+6x+8 = (x+3)^2-1\)

5-ب) \((x+3)^2 - 1 = (x+3-1)(x+3+1) = (x+2)(x+4)\)

6) نستعمل في كل حالة التفكيكات السابقة

✅ الحل الكامل

1) حساب \(A\) عند \(x = \dfrac{1}{2} - \sqrt{3}\) :

\[A = 16 - x^2 = 16 - \left(\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}\right)^2 = 16 - \left(\dfrac{1}{4} - \sqrt{3} + 3\right) = 16 - \dfrac{1}{4} + \sqrt{3} - 3\]

\[A = 13 - \dfrac{1}{4} + \sqrt{3} = \dfrac{51}{4} + \sqrt{3}\]

2-أ) تفكيك \(A\) :

\[A = 16 - x^2 = 4^2 - x^2 = \boxed{(4-x)(4+x)}\]

3) تفكيك \(A - \sqrt{48} + x\sqrt{3}\) :

\[\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}\]

\[A - \sqrt{48} + x\sqrt{3} = (4-x)(4+x) - 4\sqrt{3} + x\sqrt{3}\]

\[= (4-x)(4+x) - \sqrt{3}(4-x)\]

\[= (4-x)\big[(4+x) - \sqrt{3}\big]\]

\[\boxed{= (4-x)(x + 4 - \sqrt{3})}\]

4) حل \(A = \sqrt{48} - x\sqrt{3}\) :

\[A = \sqrt{48} - x\sqrt{3} \Leftrightarrow A - \sqrt{48} + x\sqrt{3} = 0\]

من 3) : \((4-x)(x+4-\sqrt{3}) = 0\)

\[x = 4 \quad \text{أو} \quad x = \sqrt{3} - 4\]

5-أ) إثبات \(A - B = (x+3)^2 - 1\) :

\[A - B = (16-x^2) - (-2x^2-6x+8) = 16-x^2+2x^2+6x-8 = x^2+6x+8\]

\[x^2+6x+8 = x^2+6x+9-1 = (x+3)^2-1 \checkmark\]

5-ب) تفكيك \(A - B\) :

\[A - B = (x+3)^2 - 1^2 = \big[(x+3)-1\big]\big[(x+3)+1\big] = \boxed{(x+2)(x+4)}\]

6-أ) \(A = B\) :

\[A - B = 0 \Rightarrow (x+2)(x+4) = 0\]

\[\boxed{x = -2 \quad \text{أو} \quad x = -4}\]

6-ب) \(A\) و \(B\) متقابلان :

\[A + B = 0\]

\[(16-x^2) + (-2x^2-6x+8) = 0\]

\[-3x^2-6x+24 = 0\]

\[x^2+2x-8 = 0\]

\[(x+4)(x-2) = 0\]

\[\boxed{x = -4 \quad \text{أو} \quad x = 2}\]

6-ج) \(\sqrt{A-B+1} = 3\) :

\[A - B + 1 = 9\]

\[(x+3)^2 - 1 + 1 = 9\]

\[(x+3)^2 = 9\]

\[x+3 = 3 \quad \text{أو} \quad x+3 = -3\]

\[\boxed{x = 0 \quad \text{أو} \quad x = -6}\]