التمرين 081 — شجرة الاختيار

🌳 شجرة الاختيار⭐ التاسعة أساسي📘 تصحيح في 3 مراحل

نص التمرين

1) أوجد الأعداد الزوجيّة المتكوّنة من ثلاثة أرقام مختلفة باستعمال الأرقام 4 و5 و6 و7 (معتمدًا شجرة الاختيار). 2) استنتج من بين الأعداد المتحصّل عليها الأعدادَ القابلة للقسمة على 4. 3) لتكن مجموعة الأرقام \(A=\{0\;;\;1\;;\;2\;;\;3\;;\;4\}\). باستعمال عناصر \(A\)، أعطِ الأعداد الفرديّة ذات ثلاثة أرقام مختلفة (اِعتمد شجرة الاختيار). 4) كم يوجد من عددٍ ذي 4 أرقامٍ زوجيّةٍ مختلفة رقمُ آلافه 8؟

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

1: «زوجيّ» يخصّ رقم الآحاد وحده. اِبدأ منه.

2: «استنتج» ⟶ لا تُعِد البحث من الصفر! خُذ الأعداد الاثني عشر التي وجدتَها وطبّق معيار القسمة على 4 (آخر رقمين).

3: شرطان يتصارعان: «فرديّ» يمسك الآحاد، و«عدد من ثلاثة أرقام» يمنع 0 من المئات.

4: انتبه للفرق: هنا كلّ الأرقام زوجيّة، لا العدد فقط.

المرحلة 2: منهجية الحل

1) الآحاد أوّلاً (زوجيّ) ⟶ ثمّ المئات ⟶ ثمّ العشرات، مع حذف المستعمل.
2) لكلّ عددٍ من القائمة، اِنظر إلى آخر رقمين فقط.
3) الآحاد (فرديّ) ⟶ المئات (\(\neq 0\) و\(\neq\) الآحاد) ⟶ العشرات (ما تبقّى، و0 مسموح).
4) الآلاف مفروض ⟶ ثمّ المئات فالعشرات فالآحاد من الأرقام الزوجيّة المتبقّية.

المرحلة 3: التصحيح المفصل

1) الأعداد الزوجيّة من الأرقام 4 و5 و6 و7

الآحاد (زوجيّ): \(\{4\;;\;6\}\) ⟶ 2 اختيار.
المئات: من الأرقام الثلاثة المتبقّية ⟶ 3 اختيارات.
العشرات: ⟶ 2 اختيار.

\(2\times 3\times 2=\mathbf{12}\) عددًا:

آحاد = 4 : 564 · 574 · 654 · 674 · 754 · 764
آحاد = 6 : 456 · 476 · 546 · 576 · 746 · 756

2) القابلة للقسمة على 4

معيار القسمة على 4: العدد المكوّن من آخر رقمين قابلٌ للقسمة على 4.

العدد	آخر رقمين	÷4 ؟	العدد	آخر رقمين	÷4 ؟
564	64	✓ \(64=4\times16\)	456	56	✓ \(56=4\times14\)
574	74	✗	476	76	✓ \(76=4\times19\)
654	54	✗	546	46	✗
674	74	✗	576	76	✓
754	54	✗	746	46	✗
764	64	✓	756	56	✓

456 · 476 · 564 · 576 · 756 · 764 ⟶ ستّة أعداد

لاحظ أنّ رقم المئات لم يتدخّل إطلاقًا. ولهذا نجد 564 و764 معًا (نفس النهاية 64)، و476 و576 معًا (نفس النهاية 76). معيار الـ4 لا يرى إلاّ آخر رقمين — وهذا يُقلّص العمل إلى النصف.

3) الأعداد الفرديّة من \(A=\{0;1;2;3;4\}\)

الآحاد (فرديّ): \(\{1\;;\;3\}\) ⟶ 2 اختيار.
المئات: \(\neq 0\) و\(\neq\) الآحاد ⟶ 3 اختيارات.
العشرات: ما تبقّى (و0 مسموحٌ هنا) ⟶ 3 اختيارات.

\(2\times 3\times 3=\mathbf{18}\) عددًا:

آحاد = 1 : 201 · 231 · 241 · 301 · 321 · 341 · 401 · 421 · 431
آحاد = 3 : 103 · 123 · 143 · 203 · 213 · 243 · 403 · 413 · 423

4) أعداد ذات 4 أرقامٍ زوجيّةٍ مختلفة، رقم الآلاف 8

الأرقام الزوجيّة: \(\{0\;;\;2\;;\;4\;;\;6\;;\;8\}\).

الآلاف: مفروض \(=8\) ⟶ لا اختيار.
المئات: من \(\{0;2;4;6\}\) ⟶ 4 اختيارات (0 مسموحٌ لأنّ الآلاف مشغول بـ8).
العشرات: 3 · الآحاد: 2.

\(1\times 4\times 3\times 2=\mathbf{24}\) عددًا. (أصغرها 8024 وأكبرها 8642)

قارن السؤالين 3 و4: في 3 مُنِع 0 من المئات لأنّها الموضع الأوّل. في 4 لم يُمنَع من المئات، لأنّ الموضع الأوّل مشغولٌ بـ8. نفس الرقم 0، ومصيرٌ مختلف — الموضع هو الذي قرّر.