نص التمرين
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
ثلاثة شروط، كلٌّ منها يخصّ موضعًا واحدًا. اُكتب المجموعات الثلاث قبل أن ترسم أيّ شيء.
سؤالان دقيقان: هل 0 مضاعفٌ لـ5؟ وما هي قواسم 7؟ (7 عددٌ أوّليّ — فكم قاسمًا له؟)
وفي السؤال 3، «استنتج» ⟶ لا تُعِد البحث. القسمة على 6 = القسمة على 2 و على 3.
المرحلة 2: منهجية الحل
- حدّد المجموعات الثلاث: آحاد، عشرات، مئات.
- اِبنِ الشجرة من المئات (3 فروع)، ثمّ العشرات، ثمّ الآحاد.
- اِحذف عند كلّ ورقةٍ الحالات التي تتكرّر فيها الأرقام.
- للسؤال 3: اِحتفظ بالأعداد الزوجيّة أوّلاً، ثمّ اختبر مجموع الأرقام.
المرحلة 3: التصحيح المفصل
تحضير المجموعات
الآحاد (مضاعف لـ5): \(\{0\;;\;5\}\) (0 مضاعفٌ لـ5 لأنّ \(0=5\times 0\))
العشرات (قاسمٌ لـ7): \(\{1\;;\;7\}\) (7 أوّليّ ⟶ قاسماه 1 و7 فقط)
المئات: \(\{3\;;\;4\;;\;5\}\)
1) شجرة الاختيار
| المئات | العشرات = 1 | العشرات = 7 |
|---|---|---|
| 3 | 310 · 315 | 370 · 375 |
| 4 | 410 · 415 | 470 · 475 |
| 5 | 510 (515 ✗ تكرار الرقم 5) | 570 (575 ✗ تكرار الرقم 5) |
\(E=\{\,310\;;\;315\;;\;370\;;\;375\;;\;410\;;\;415\;;\;470\;;\;475\;;\;510\;;\;570\,\}\)
2) كمّ المجموعة
الجداء يُعطي \(3\times 2\times 2=12\)، لكنّ شرط «أرقام مختلفة» يحذف حالتين (515 و575).
\(\text{كم}(E)=12-2=\mathbf{10}\)
3) العناصر القابلة للقسمة على 6
القسمة على 6 = القسمة على 2 و على 3 (وهما أوليان فيما بينهما).
الخطوة 1 — على 2: نحتفظ بالأعداد الزوجيّة، أي التي تنتهي بـ0:
310 · 370 · 410 · 470 · 510 · 570 (سقطت كلّ الأعداد المنتهية بـ5)
الخطوة 2 — على 3: نختبر مجموع الأرقام:
| العدد | 310 | 370 | 410 | 470 | 510 | 570 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| مجموع الأرقام | 4 | 10 | 5 | 11 | 6 | 12 |
| مضاعف لـ3؟ | ✗ | ✗ | ✗ | ✗ | ✓ | ✓ |
العنصران القابلان للقسمة على 6 هما: 510 و 570
تحقّق: \(510=6\times 85\) ✓ و \(570=6\times 95\) ✓