التمرين 080 — قابلية القسمة والتعداد

🔢 قابلية القسمة⭐ التاسعة أساسي📘 تصحيح في 3 مراحل

نص التمرين

1) بيّن أنّ العدد 9876543210 يقبل القسمة على 15. 2) حدّد باقي وخارج القسمة الإقليدية للجذاء \(\left(25^{21}-5^{41}\right)\times 81\) على 12، وعلّل جوابك. 3) دخل 3 تلاميذ بشكلٍ متتالٍ إلى قاعةٍ إعلاميّة بها 7 أجهزة كمبيوتر رُقّمت من 1 إلى 7. بكم طريقةٍ يمكن لهؤلاء التلاميذ الجلوس في هذه القاعة إذا علمتَ أنّ كلّ واحدٍ منهم يجلس بمفرده أمام جهاز؟ اُرسم شجرة الاختيار كتعليلٍ لإجابتك.

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

1: \(15=3\times 5\) و3 و5 أوليان فيما بينهما. إذن يكفي معياران بسيطان.

2: لا تحسب \(25^{21}\)! وحّد الأساس: \(25=5^{2}\)، ثمّ أخرِج العامل المشترك.

3: التلميذ الأوّل يدخل ويختار. ثمّ الثاني: هل بقيت له 7 أجهزة؟

المرحلة 2: منهجية الحل

  1. 1) طبّق معيار القسمة على 5 (الآحاد) ثمّ على 3 (مجموع الأرقام).
  2. 2) اُكتب الجذاء على شكل \(12\times(\dots)\) إن أمكن. الباقي يُقرأ عندئذٍ مباشرة.
  3. 3) عُدّ الاختيارات المتاحة لكلّ تلميذٍ على حدة، مع تناقص الأجهزة الشاغرة.

المرحلة 3: التصحيح المفصل

1) العدد 9876543210

على 5: رقم الآحاد هو 0 ⟶ العدد قابلٌ للقسمة على 5 ✓

على 3: مجموع الأرقام \(=9+8+7+6+5+4+3+2+1+0=45\)، و\(45=3\times 15\) ⟶ قابلٌ للقسمة على 3 ✓

و3 و5 أوليان فيما بينهما، إذن العدد قابلٌ للقسمة على \(3\times 5=\mathbf{15}\). ✓

الشرط «أوليان فيما بينهما» ضروريّ. القابليّة للقسمة على 2 وعلى 4 لا تُعطي القابليّة للقسمة على 8 (مثال: 12).

2) الجذاء \(\left(25^{21}-5^{41}\right)\times 81\)

نوحّد الأساس: \(25^{21}=\left(5^{2}\right)^{21}=5^{42}\).

\(25^{21}-5^{41}=5^{42}-5^{41}=5^{41}\left(5-1\right)=4\times 5^{41}\).

إذن الجذاء \(=4\times 5^{41}\times 81=324\times 5^{41}\).

و\(324=12\times 27\). إذن:

الجذاء \(=12\times\left(27\times 5^{41}\right)\)

الباقي \(=0\)  و  الخارج \(=27\times 5^{41}\).

تعليل: الباقي 0 يُحقّق الشرط \(0\le 0<12\)، والكتابة \(12\times q+0\) هي بالضبط شكل القسمة الإقليدية.

لم نحسب أيّ عددٍ ضخم. \(4\times 81=324\) و\(324=12\times 27\) — كلّ العمل جرى على العوامل الصغيرة، بينما \(5^{41}\) بقي كما هو. لا تحسب ما لا تحتاج إلى حسابه.

3) جلوس التلاميذ الثلاثة

التلميذ الأوّل: يجد 7 أجهزة شاغرة ⟶ 7 اختيارات.
التلميذ الثاني: جهازٌ واحدٌ صار مشغولاً ⟶ 6 اختيارات.
التلميذ الثالث: ⟶ 5 اختيارات.

\(7\times 6\times 5=\mathbf{210}\) طريقة.

مثال على فرعٍ من الشجرة: التلميذ 1 ⟶ الجهاز 3 ، التلميذ 2 ⟶ الجهاز 7 ، التلميذ 3 ⟶ الجهاز 1.

الشرط «كلّ واحدٍ يجلس بمفرده» هو الذي يجعل العدد ينقص في كلّ مستوى (7 ثمّ 6 ثمّ 5). لولاه لكان الجواب \(7^{3}=343\). الفرق بين 343 و210 هو كلفةُ كلمةٍ واحدةٍ في النصّ.