نص التمرين
\(A\) هي مجموعة البواقي الممكنة من القسمة الإقليدية لعددٍ صحيحٍ على 4.
1) حدّد \(A\) وكمّها.
2) حدّد، مستعملاً عناصر المجموعة \(A\) ومستعينًا بشجرة الاختيار، كلّ الأعداد ذات ثلاثة أرقامٍ مختلفة رقمُ مئاتها عددٌ أوّليّ.
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
1: في القسمة الإقليدية على 4، الباقي \(r\) يُحقّق شرطًا صارمًا: \(0\le r<4\). اُكتب هذا الشرط قبل أيّ شيء آخر.
2: بعد أن تعرف \(A\)، اِبحث: أيُّ عناصرها أعدادٌ أوّليّة؟ اِنتبه جيّدًا للعددين 0 و1.
1 ليس عددًا أوّليًّا (له قاسمٌ واحد فقط). و0 ليس أوّليًّا أيضًا. العدد الأوّليّ له قاسمان بالضبط: 1 ونفسه.
المرحلة 2: منهجية الحل
- اُكتب شرط الباقي في القسمة على 4، واِستنتج \(A\).
- حدّد الأرقام الأوّليّة داخل \(A\).
- اِبنِ الشجرة: المئات (أوّليّ) ⟶ العشرات ⟶ الآحاد، مع حذف الأرقام المستعملة.
المرحلة 3: التصحيح المفصل
1) المجموعة \(A\)
في القسمة الإقليدية على 4، الباقي \(r\) يُحقّق \(0\le r<4\).
\(A=\{\,0\;;\;1\;;\;2\;;\;3\,\}\) و \(\text{كم}(A)=\mathbf{4}\)
2) الأعداد ذات ثلاثة أرقام مختلفة
المئات: رقمٌ أوّليّ من \(A\). الأعداد الأوّليّة في \(A\) هي \(\{2\;;\;3\}\) ⟶ 2 اختيار.
(0 ليس أوّليًّا — و1 ليس أوّليًّا لأنّ له قاسمًا واحدًا فقط. وهذا يحلّ تلقائيًّا مشكلة «صفر في المئات».)
العشرات: أيّ عنصر متبقٍّ من \(A\) ⟶ \(4-1=\) 3 اختيارات.
الآحاد: ما تبقّى ⟶ 2 اختيار.
\(2\times 3\times 2=\mathbf{12}\) عددًا.
| المئات = 2 | 201 · 203 · 210 · 213 · 230 · 231 |
|---|---|
| المئات = 3 | 301 · 302 · 310 · 312 · 320 · 321 |
\(6+6=12\) ✓
هنا لم نُضطرّ إلى منع 0 من المئات يدويًّا: شرطُ «أوّليّ» طرده وحده. عندما يتّفق شرطان، لا تُضِف قاعدةً زائدة — تحقّق أوّلاً ممّا إذا كان أحدهما يكفي.