نص التمرين
بابُ خزنةٍ مجهّزٌ بلوحةٍ إلكترونية بها حرفان \(x\) و\(y\) ورقمان 1 و9.
لفتحه يجب استعمال رقمٍ سرّيّ متكوّن من حرفين متبوعين برقمين مختلفين.
باستعمال شجرة الاختيار، حدّد كلّ الأرقام السرّية الممكنة.
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
اِقرأ النصّ بدقّة: كلمة «مختلفين» تخصّ الرقمين فقط. النصّ لا يقول شيئًا عن الحرفين.
إذن: هل يُسمح بالرمز \(xx\)؟ نعم — لم يُمنع.
هذا هو خطأ التمرين الشائع: تعميمُ شرط «مختلفين» على الحروف أيضًا، فينخفض الجواب من 8 إلى 4. اِقرأ ما هو مكتوب، لا ما تظنّه مكتوبًا.
المرحلة 2: منهجية الحل
- اِبنِ الشجرة على أربعة مستويات: حرف ، حرف ، رقم ، رقم.
- المستوى 1 و2: كلّ الاحتمالات (التكرار مسموح).
- المستوى 3 و4: الرقمان مختلفان ⟶ الثاني يُحدّده الأوّل.
- اِضرب، ثمّ اُكتب القائمة كاملةً للتحقّق.
المرحلة 3: التصحيح المفصل
بناء الشجرة
الحرف الأوّل: \(x\) أو \(y\) ⟶ 2 اختيار.
الحرف الثاني: \(x\) أو \(y\) (التكرار مسموح) ⟶ 2 اختيار.
الرقم الأوّل: 1 أو 9 ⟶ 2 اختيار.
الرقم الثاني: يخالف الأوّل ⟶ 1 اختيار فقط (إن كان الأوّل 1 فالثاني 9، والعكس).
\(2\times 2\times 2\times 1=\mathbf{8}\) أرقامٍ سرّية ممكنة.
القائمة الكاملة
| الحرفان | الرقمان = 19 | الرقمان = 91 |
|---|---|---|
| \(xx\) | xx19 | xx91 |
| \(xy\) | xy19 | xy91 |
| \(yx\) | yx19 | yx91 |
| \(yy\) | yy19 | yy91 |
\(4\times 2=8\) ✓ — العدّ على الشجرة يُطابق الجداء.
ما الذي يجعل الرقمين «مختلفين» مهمًّا؟ لولا هذا الشرط لكان الجواب \(2\times2\times2\times2=16\). الشرط قسّم الجواب على 2 بالضبط، لأنّه ألغى الحالتين \(11\) و\(99\) من بين أربع حالاتٍ للرقمين. كلُّ شرطٍ في النصّ له ثمنٌ في العدّ — تعرّف عليه.