نص التمرين
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
1: «مخالفة للصفر» ⟶ من كم رقمٍ نختار؟ وهل يمكن تكرار الرقم في بطاقة تعريف؟ (نعم، لم يُمنع ذلك).
2: عُدَّ حروف كلمة «قسمة». هل هي كلّها مختلفة؟
3: لا تختبر الشروط الثلاثة واحدًا واحدًا. اِبحث عن أصغر مضاعفٍ مشترك لـ15 و12 و6.
4: \(45=9\times 5\). وأساسا القوّتين (25 و5) ليسا مختلفين حقًّا: \(25=5^{2}\). وحّدهما.
المرحلة 2: منهجية الحل
- 1) اُحسب عدد الاختيارات لكلّ موضع من المواضع الأربعة، ثمّ اِضرب.
- 2) عدد ترتيبات \(n\) حرفًا مختلفًا هو \(n\times(n-1)\times\dots\times 2\times 1\).
- 3) اُحسب المضاعف المشترك الأصغر، ثمّ ترجمه إلى معياري قسمة يمكن تطبيقهما على أرقام \(m\).
- 4) اُكتب كلّ شيء بأساسٍ واحد هو 5، ثمّ أخرِج العامل المشترك.
المرحلة 3: التصحيح المفصل
1) بطاقة التعريف
الأرقام المسموحة: \(\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}\) ⟶ 9 أرقام لكلّ موضع، والتكرار مسموح.
\(9\times 9\times 9\times 9=9^{4}=\mathbf{6561}\) بطاقة ممكنة.
2) كلمة «قسمة»
حروفها: ق ، س ، م ، ة ⟶ 4 حروفٍ مختلفة.
الحرف الأوّل: 4 اختيارات · الثاني: 3 · الثالث: 2 · الرابع: 1.
\(4\times 3\times 2\times 1=\mathbf{24}\) كلمة.
3) العدد \(m=\overline{65998b380}\)
\(15=3\times 5\) ، \(12=2^{2}\times 3\) ، \(6=2\times 3\).
المضاعف المشترك الأصغر: \(2^{2}\times 3\times 5=\mathbf{60}\).
القسمة على 60 = القسمة على 4 و على 3 و على 5.
على 5: رقم الآحاد هو 0 ⟶ محقّق دائمًا ✓ (مهما كان \(b\))
على 4: آخر رقمين هما 80، و\(80=4\times 20\) ⟶ محقّق دائمًا ✓ (مهما كان \(b\))
على 3: مجموع الأرقام \(=6+5+9+9+8+b+3+8+0=48+b\). و\(48=3\times 16\)، إذن يكفي أن يكون \(b\) مضاعفًا لـ3.
\(b\in\{\,\mathbf{0}\;;\;\mathbf{3}\;;\;\mathbf{6}\;;\;\mathbf{9}\,\}\) — أربعة حلول.
4) \(2\times 25^{359}+5^{720}\)
نوحّد الأساس: \(25=5^{2}\) ⟶ \(25^{359}=\left(5^{2}\right)^{359}=5^{718}\).
\(2\times 25^{359}+5^{720}=2\times 5^{718}+5^{720}=2\times 5^{718}+5^{718}\times 5^{2}\)
\(=5^{718}\,(2+25)=5^{718}\times 27\).
الآن: \(45=9\times 5\). و\(5^{718}\times 27=9\times 5\times\left(3\times 5^{717}\right)=45\times\left(3\times 5^{717}\right)\).
إذن العدد قابلٌ للقسمة على \(\mathbf{45}\). ✓