التمرين 075 — الأعداد الأولية فيما بينها

🔢 قواسم مشتركة⭐ التاسعة أساسي📘 تصحيح في 3 مراحل

نص التمرين

نعتبر العددين الصحيحين الطبيعيين \(a=9p+4\) و\(b=2p+1\) حيث \(p\) عدد صحيح طبيعي. 1) اُحسب \(9b-2a\). 2) ليكن \(d\) قاسمًا مشتركًا لـ \(a\) و\(b\).   أ) بيّن أنّ \(d\) يقسم \(9b-2a\).   ب) استنتج قيمة العدد \(d\).   ت) بيّن أنّ \(a\) و\(b\) أوليان فيما بينهما.

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

لماذا يطلب منك التمرين بالضبط \(9b-2a\) وليس \(a+b\) أو \(a-b\)؟

اُنظر إلى المعاملين: \(a\) يحتوي \(9p\) و\(b\) يحتوي \(2p\). ماذا يحدث للحدّ \(p\) إذا ضربتَ \(b\) في 9 و\(a\) في 2 ثمّ طرحتَ؟

القاعدة المفتاح: إذا كان \(d\) يقسم عددين، فهو يقسم كلّ مجموعٍ أو فرقٍ لمضاعفاتهما. هذه هي أداة التمرين كلّه.

المرحلة 2: منهجية الحل

  1. عوّض واحسب \(9b-2a\) ببساطة. لاحظ ما يبقى.
  2. اِستعمل: \(d\mid a\) و\(d\mid b\) ⟶ \(d\mid 9b\) و\(d\mid 2a\) ⟶ \(d\mid 9b-2a\).
  3. ما هي الأعداد الصحيحة الطبيعية التي تقسم النتيجة التي وجدتَها؟

المرحلة 3: التصحيح المفصل

1) حساب \(9b-2a\)

\(9b=9(2p+1)=18p+9\)
\(2a=2(9p+4)=18p+8\)

\(9b-2a=(18p+9)-(18p+8)=\mathbf{1}\)

اختفى \(p\) تمامًا. هذا ليس صدفة: المعاملان 9 و2 اختيرا خصّيصًا ليُلغيا الحدّ \(18p\). النتيجة \(1\) هي كنزُ التمرين.

2-أ) \(d\) يقسم \(9b-2a\)

\(d\) قاسمٌ لـ\(b\) ⟶ إذن \(d\) قاسمٌ لـ\(9b\).
\(d\) قاسمٌ لـ\(a\) ⟶ إذن \(d\) قاسمٌ لـ\(2a\).

وبما أنّ \(d\) يقسم كلاًّ من \(9b\) و\(2a\)، فهو يقسم فرقهما: \(d\mid (9b-2a)\). ✓

برهانٌ صريح: نضع \(a=d\alpha\) و\(b=d\beta\). عندئذٍ \(9b-2a=9d\beta-2d\alpha=d(9\beta-2\alpha)\)، وهو مضاعفٌ لـ\(d\).

2-ب) قيمة \(d\)

من السؤال 1: \(9b-2a=1\). ومن (أ): \(d\) يقسم 1.

القاسم الصحيح الطبيعي الوحيد للعدد 1 هو 1. إذن \(\mathbf{d=1}\).

2-ت) \(a\) و\(b\) أوليان فيما بينهما

بيّنّا أنّ كلّ قاسمٍ مشتركٍ لـ\(a\) و\(b\) يساوي 1. إذن القاسم المشترك الأكبر لهما هو 1:

\(\text{ق.م.أ}(a\,;\,b)=1\) ⟶ \(a\) و\(b\) أوليان فيما بينهما، مهما كان \(p\).

تحقّق سريع بـ\(p=3\): \(a=31\) و\(b=7\). قواسم 7 هي 1 و7، و7 لا يقسم 31 ⟶ القاسم المشترك الوحيد هو 1 ✓

القاعدة التي تنبثق: لإثبات أنّ عددين أوليان فيما بينهما، لا تحسب قواسمهما — اِبحث عن تأليفةٍ خطّيّة منهما تساوي 1. إن وجدتَها، انتهى البرهان.