نص التمرين
لطفلٍ مجموعةٌ من السيارات الصغيرة. نظّمها في صفوفٍ من 6 سيارات فبقيت له 3 سيارات.
ثمّ أعاد تنظيمها في صفوفٍ من 5 سيارات فلم تبقَ أيّ سيارة.
1) لو أراد تنظيمها في صفوفٍ من 3 سيارات، هل يمكنه ذلك دون باقٍ؟ علّل جوابك.
2) هل يمكنه وضعها في صفوفٍ من سيارتين (دون باقٍ)؟ علّل جوابك.
3) ماذا يمكن أن يكون عددُ سيارات هذا الطفل، علمًا أنّ عددها أصغر من 100؟
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
قبل أن تُجرّب الأعداد واحدًا واحدًا، اسأل نفسك: ماذا تقول لي كلُّ جملةٍ بالضبط؟
«صفوفٌ من 6 وبقيت 3» ⟶ ترجمها إلى كتابةٍ للعدد \(n\).
«صفوفٌ من 5 ولم يبقَ شيء» ⟶ ماذا يعني ذلك عن \(n\)؟
فخّ: كثيرون يكتبون قائمة الأعداد الأصغر من 100 ويختبرونها كلّها. الكتابة الجبريّة تُجيب على السؤالين 1 و2 دون أن نعرف \(n\).
المرحلة 2: منهجية الحل
- اُكتب الشرط الأوّل: \(n=6k+3\) حيث \(k\) عدد صحيح طبيعي.
- حلّل هذه الكتابة: أخرِج عاملاً مشتركًا. ماذا يظهر؟
- اُدرس زوجيّة \(6k+3\): \(6k\) زوجيّ و3 فرديّ.
- اِجمع الشرط الثاني (\(n\) مضاعف لـ5) وابحث في المجال \(n<100\).
المرحلة 3: التصحيح المفصل
الترجمة: \(n=6k+3\) ، و\(n\) مضاعفٌ للعدد 5.
1) صفوفٌ من 3
\(n=6k+3=3(2k+1)\) ⟶ \(n\) مضاعفٌ للعدد 3. نعم، دون باقٍ، وعددُ الصفوف \(2k+1\).
أجبنا دون معرفة عدد السيارات: كلُّ عددٍ يترك الباقي 3 على 6 هو حتمًا مضاعفٌ لـ3.
2) صفوفٌ من سيارتين
\(6k\) زوجيّ و3 فرديّ ⟶ مجموعهما فرديّ. إذن لا: يبقى دائمًا الباقي 1.
استنتاجٌ مجّانيّ: \(n\) فرديّ ومضاعفٌ لـ5 ⟶ رقم آحاده هو 5.
3) عدد السيارات
المرشّحون (أصغر من 100، ينتهون بـ5): 5 ، 15 ، 25 ، 35 ، 45 ، 55 ، 65 ، 75 ، 85 ، 95.
نحتفظ بمن يُحقّق \(n=6k+3\)، أي \(n-3\) مضاعفٌ لـ6:
| \(n\) | 5 | 15 | 25 | 35 | 45 | 55 | 65 | 75 | 85 | 95 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(n-3\) | 2 | 12 | 22 | 32 | 42 | 52 | 62 | 72 | 82 | 92 |
| مضاعف لـ6؟ | ✗ | ✓ | ✗ | ✗ | ✓ | ✗ | ✗ | ✓ | ✗ | ✗ |
عددُ السيارات: 15 أو 45 أو 75.
الفارق بين الحلول هو 30 في كلّ مرّة — و30 هو أصغر مضاعفٍ مشتركٍ لـ6 و5. القاعدة لم نفرضها: هي التي خرجت من الجدول.