نص التمرين
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
1-أ: الرقم \(a\) مجهول… لكن هل يهمّ؟ اُحسب مجموع أرقام \(x\) بدلالة \(a\) وانظر.
1-ب: القسمة على 6 = القسمة على 2 و على 3. عن أيٍّ منهما تعرف الجواب سلفًا؟
2-أ: إذا كان عددٌ مضاعفًا لـ3، فماذا تقول عن قوّته التاسعة؟ اُكتب \(x-1=3k\) وارفع إلى القوّة 9.
المرحلة 2: منهجية الحل
- 1-أ) اُكتب مجموع أرقام \(x\) بدلالة \(a\)، ثمّ طبّق معيار القسمة على 3.
- 1-ب) اُثبت أنّ \(y\) زوجيّ، ثمّ أنّه مضاعف لـ3.
- 2-أ) ضَعْ \(x-1=3k\) و\(y=3m\)، ثمّ ارفع كلاًّ منهما إلى القوّة المطلوبة.
- 2-ب) حدّد قيمة \(a\) التي تُعطي \(x=475552\)، وتحقّق من \(y\).
المرحلة 3: التصحيح المفصل
1-أ) باقي قسمة \(x\) على 3
\(x=\overline{47aaa2}\) ⟶ مجموع أرقامه: \(4+7+a+a+a+2=13+3a\).
\(13+3a=12+3a+1=3(4+a)+1\).
مجموع الأرقام يترك الباقي 1 عند القسمة على 3، إذن باقي قسمة \(x\) على 3 هو 1.
1-ب) \(y\) يقبل القسمة على 6
على 2: \(y=2x+4=2(x+2)\) ⟶ \(y\) زوجيّ. ✓
على 3: من (أ) نكتب \(x=3k+1\). إذن \(y=2(3k+1)+4=6k+2+4=6k+6=6(k+1)\).
إذن \(y\) مضاعفٌ للعدد 6 مباشرة (وبالتالي قابلٌ للقسمة على 2 وعلى 3). ✓
2-أ) \((x-1)^{9}+y^{10}\) يقبل القسمة على \(3^{9}\)
من (1-أ): \(x=3k+1\) ⟶ \(x-1=3k\).
إذن \((x-1)^{9}=(3k)^{9}=3^{9}\times k^{9}\) ⟶ مضاعفٌ لـ\(3^{9}\).
ومن (1-ب): \(y=6(k+1)=3\times 2(k+1)\)، فلنضع \(y=3m\).
إذن \(y^{10}=3^{10}\times m^{10}=3^{9}\times(3m^{10})\) ⟶ مضاعفٌ لـ\(3^{9}\) أيضًا (وحتّى لـ\(3^{10}\)).
مجموع مضاعفَين للعدد \(3^{9}\) هو مضاعفٌ للعدد \(3^{9}\):
\((x-1)^{9}+y^{10}=3^{9}\left(k^{9}+3m^{10}\right)\) ✓
2-ب) التطبيق العدديّ
نبحث عن \(a\) بحيث \(x-1=475551\)، أي \(x=475552\).
\(x=\overline{47aaa2}\) ⟶ بالمقارنة: \(4\,7\,\mathbf{5}\,\mathbf{5}\,\mathbf{5}\,2\) ⟶ \(\mathbf{a=5}\). ✓
ونتحقّق من \(y\): \(y=2x+4=2\times 475552+4=951104+4=\mathbf{951108}\). ✓
إذن \(475551^{9}+951108^{10}=(x-1)^{9}+y^{10}\)، وهو حسب (2-أ) قابلٌ للقسمة على \(\mathbf{3^{9}}\).