التمرين 070 — شجرة الاختيار وقابلية القسمة

🌳 شجرة الاختيار⭐ التاسعة أساسي📘 تصحيح في 3 مراحل

نص التمرين

1) باستعمال شجرة الاختيار، أوجد الأعداد ذات ثلاثة أرقام مختلفة، المضاعفة للعدد 5، رقمُ عشراتها أوّليّ ورقمُ مئاتها مضاعفٌ للعدد 3. 2) نعتبر العدد الصحيح الطبيعي \(m=\overline{29a4b}\) حيث \(a\) رقم مئاته و\(b\) رقم آحاده. اِبحث عن الرقمين \(a\) و\(b\) ليكون \(m\) قابلاً للقسمة على 8 و12 و15 في نفس الوقت. 3) ليكن العدد الصحيح الطبيعي \(n=5p+3=3q+1\) حيث \(p\in\mathbb{N}^{*}\) و\(q\in\mathbb{N}^{*}\).   أ) بيّن أنّ العدد \(n+2\) مضاعفٌ للعدد 15.   ب) إذا علمتَ أنّ \(120

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

السؤال 1: ثلاثة شروط مستقلّة، كلٌّ منها يخصّ موضعًا واحدًا. اُكتب لكلّ موضعٍ مجموعةَ الأرقام المسموحة قبل أن ترسم أيّ شيء. لا تنسَ شرط «مختلفة».

السؤال 2: لا تُجرّب 100 حالة! اِبحث أوّلاً عن أصغر مضاعفٍ مشترك للأعداد 8 و12 و15.

السؤال 3: لماذا يطلب منك \(n+2\) وليس \(n\)؟ جرّب أن تُضيف 2 إلى كلٍّ من الكتابتين \(5p+3\) و\(3q+1\) وانظر ماذا يحدث.

المرحلة 2: منهجية الحل

  1. 1) حدّد مجموعة الأرقام المسموحة لكلّ موضع، ثمّ اِبنِ الشجرة من الموضع الأكثر تقييدًا.
  2. 2) اُحسب أصغر مضاعف مشترك لـ8 و12 و15، ثمّ اِبحث عن مضاعفاته بين 29000 و30000.
  3. 3-أ) عوّض في \(n+2\) مرّةً بـ\(5p+3\) ومرّةً بـ\(3q+1\)، وحلّل في كلّ مرّة.
  4. 3-ب) اِستعمل نتيجة (أ) لتضييق البحث: مضاعفات 15 في المجال المطلوب.

المرحلة 3: التصحيح المفصل

السؤال 1

الآحاد (مضاعف لـ5): \(\{0\,;\,5\}\) ⟶ رقمان.
العشرات (رقم أوّليّ): \(\{2\,;\,3\,;\,5\,;\,7\}\) ⟶ 4 أرقام. (انتبه: 1 ليس أوّليًّا، و9 ليس أوّليًّا)
المئات (مضاعف لـ3، وغير منعدم): \(\{3\,;\,6\,;\,9\}\) ⟶ 3 أرقام. (0 مضاعفٌ لـ3 لكنّه ممنوعٌ في المئات)

الجداء \(3\times 4\times 2=24\)، لكن يجب حذف الحالات التي تتكرّر فيها الأرقام (مثل \(3\,3\,5\) أو \(5\,5\,0\)…). بعد الحذف نجد 19 عددًا:

320 · 325 · 350 · 370 · 375
620 · 625 · 630 · 635 · 650 · 670 · 675
920 · 925 · 930 · 935 · 950 · 970 · 975

لاحظ: من فرع المئات 3 ننقص الحالات \(3\to3\to\dots\)، ومن فرع الآحاد 5 ننقص \(\dots\to5\to5\). الجداء يُعطي 24، والشجرة تُعطي 19 — الفرق هو ثمن شرط «مختلفة». لهذا نرسم الشجرة ولا نكتفي بالضرب.

السؤال 2

\(8=2^{3}\) و\(12=2^{2}\times 3\) و\(15=3\times 5\).
أصغر مضاعف مشترك: \(2^{3}\times 3\times 5=\mathbf{120}\).

إذن \(m\) مضاعفٌ للعدد 120. ونحن نبحث بين \(29040\) و\(29940\) (لأنّ \(m=\overline{29a4b}\)).

رقم العشرات مفروضٌ ويساوي 4. مضاعفات 120 في هذا المجال التي رقم عشراتها 4:

\(29040=120\times 242\) ⟶ \(a=0\) و\(b=0\)
\(29640=120\times 247\) ⟶ \(a=6\) و\(b=0\)

الحلّ ليس وحيدًا: للمسألة حلاّن. إذا وجدتَ حلاًّ واحدًا فقط فقد نسيتَ الآخر.

السؤال 3

أ) من \(n=5p+3\):   \(n+2=5p+5=5(p+1)\) ⟶ \(n+2\) مضاعفٌ للعدد 5.
ومن \(n=3q+1\):   \(n+2=3q+3=3(q+1)\) ⟶ \(n+2\) مضاعفٌ للعدد 3.

و5 و3 أوليان فيما بينهما، إذن \(n+2\) مضاعفٌ للعدد \(3\times 5=\mathbf{15}\).

هنا يظهر سببُ اختيار \(n+2\): إضافةُ 2 تُكمل الباقي 3 إلى 5، والباقي 1 إلى 3. «إكمالُ الباقي» هو الحيلة، وليست صدفة.

ب) \(120

إذن \(n+2=135\) ⟶ \(\mathbf{n=133}\).

\(133=5p+3\) ⟶ \(5p=130\) ⟶ \(\mathbf{p=26}\).
\(133=3q+1\) ⟶ \(3q=132\) ⟶ \(\mathbf{q=44}\).

تحقّق: \(5\times 26+3=133\) ✓  و  \(3\times 44+1=133\) ✓