التمرين 069 — اختيار من متعدّد

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

في الاختيار من متعدّد، الخطأ الأكبر هو التخمين. لكلّ سؤالٍ هنا طريقٌ قصير:

• 1) لنفي جملةٍ عامّة، يكفي مثالٌ مضادّ واحد.
• 2) لا تحسب العدد! رقم الآحاد يكفي: ما هو رقم آحاد أيّ قوّةٍ للعدد 5؟
• 4) لا تُخمّن: أعِد كتابة \(9n+8\) على شكل \(3\times(\dots)+r\) مع \(0\le r<3\).
• 6) العاملُ المشترك مخفيّ في \(2^{n}+2^{n+3}\). أخرِجه.

المرحلة 2: منهجية الحل

1. 1) اِبحث عن مثالٍ مضادّ بين الأعداد الأوّليّة الصغيرة.
2. 2) اُحسب رقم آحاد كلّ حدٍّ على حدة، ثمّ اِجمع الأرقام واحتفظ برقم آحاد المجموع.
3. 3) رتّب المواضع: المئات (زوجيّ وغير منعدم) ثمّ الآحاد (فرديّ) ثمّ العشرات (ما تبقّى).
4. 4) اُكتب \(9n+8=9n+6+2\) ثمّ حلّل.
5. 5) طبّق معياري 8 (آخر ثلاثة أرقام) و3 (مجموع الأرقام) على الاختيارات الثلاثة فقط.
6. 6) حلّل \(2^{n}+2^{n+3}\) بإخراج \(2^{n}\).

المرحلة 3: التصحيح المفصل

1) خطأ

مثالٌ مضادّ: 3 و5 عددان أصمّان، ومجموعهما \(3+5=8\) وهو ليس أصمّ.

2) الجواب: 0

\(25^{159}\) رقم آحاده 5 (كلّ قوى 25 تنتهي بـ5)، إذن \(2\times 25^{159}\) ينتهي بـ0.

\(5^{320}\) ينتهي بـ5، و\(5^{319}\) ينتهي بـ5.

\(0+5+5=10\) ⟶ رقم الآحاد هو 0.

3) الجواب: 160

المئات: زوجيّ وغير منعدم ⟶ \(\{2;4;6;8\}\) ⟶ 4 اختيارات.
الآحاد: فرديّ ⟶ \(\{1;3;5;7;9\}\) ⟶ 5 اختيارات (لا يتعارض أبدًا مع المئات).
العشرات: أيّ رقمٍ عدا الرقمين المستعملين ⟶ \(10-2=8\) اختيارات.

\(4\times 5\times 8=\mathbf{160}\)

4) الجواب: \(3n+2\)

\(a=9n+8=9n+6+2=3(3n+2)+2\)، والباقي \(2\) يُحقّق \(0\le 2<3\).

إذن الخارج هو \(\mathbf{3n+2}\) والباقي هو 2.

5) الجواب: \(a=2\) و\(b=8\)

القسمة على 8 تُقرأ من آخر ثلاثة أرقام، وهي هنا \(\overline{a0b}\) أي العدد \(100a+b\):

العدد هو إذن \(8345208\). وهو قابل للقسمة على 12 لأنّه قابلٌ للقسمة على 3 وعلى 4 (و\(208=4\times52\)).

6) الجواب: 6

\(2^{n}+2^{n+3}=2^{n}+2^{n}\times 2^{3}=2^{n}(1+8)=9\times 2^{n}\).

بما أنّ \(n\ge 1\)، فإنّ \(2^{n}\) زوجيّ. إذن \(9\times 2^{n}\) قابلٌ للقسمة على 9 و على 2، إذن على \(\mathbf{6}\) (بل وعلى 18).

وهو ليس قابلاً للقسمة على 14 (لا يحتوي العامل 7)، ولا على 15 (لا يحتوي العامل 5).