نص التمرين
التمرين رقم 7
باستعمال الأرقام \(3\) و\(5\) و\(6\) و\(7\) (أرقام مختلفة في كلّ عدد):
1) ابحث عن مجموعة الأعداد المكوّنة من رقمين مختلفين. ما هو كمّ هذه المجموعة؟
2) نفس السؤال مع ثلاثة أرقام مختلفة.
3) نفس السؤال مع أربعة أرقام مختلفة.
باستعمال الأرقام \(3\) و\(5\) و\(6\) و\(7\) (أرقام مختلفة في كلّ عدد):
1) ابحث عن مجموعة الأعداد المكوّنة من رقمين مختلفين. ما هو كمّ هذه المجموعة؟
2) نفس السؤال مع ثلاثة أرقام مختلفة.
3) نفس السؤال مع أربعة أرقام مختلفة.
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
ثلاثة أسئلة، نفس المبدأ — لكنّ السؤال الثالث يخفي مفاجأة.
قبل الحساب، خمّن: هل عدد الأعداد ذات أربعة أرقام سيكون أكبر من عدد الأعداد ذات ثلاثة أرقام؟
معظم التلاميذ يقولون «نعم، طبعًا». احسب، ثمّ عُد إلى تخمينك.
ملاحظة مهمّة: لا يوجد الرقم \(0\) بين \(3;5;6;7\) — إذن لا مشكلة في خانة المرتبة العليا.
المرحلة 2: منهجية الحل
- شجرة الاختيار: خانة بخانة.
- الأرقام مختلفة ⟹ الرقم المستعمَل يختفي من الخانات التالية.
- اضرب الإمكانيات.
- لا تنسَ التحقّق: هل يمكن أن يكون الرقم الأوّل \(0\)؟ هنا لا — لأنّ \(0\) ليس ضمن الأرقام المعطاة.
المرحلة 3: التصحيح المفصل
1) عددان مختلفان (رقمان)
خانة العشرات: 4 إمكانيات. خانة الآحاد: بقي 3.
\(4 \times 3 = \mathbf{12}\) عددًا
2) ثلاثة أرقام مختلفة
المئات: 4 · العشرات: 3 · الآحاد: 2.
\(4 \times 3 \times 2 = \mathbf{24}\) عددًا
3) أربعة أرقام مختلفة
الآلاف: 4 · المئات: 3 · العشرات: 2 · الآحاد: 1.
\(4 \times 3 \times 2 \times 1 = \mathbf{24}\) عددًا
المفاجأة — عُد إلى تخمينك
عدد الأعداد ذات ثلاثة أرقام \(=\) عدد الأعداد ذات أربعة أرقام \(= 24\).
لم يزد شيء عند إضافة الخانة الرابعة!
لم يزد شيء عند إضافة الخانة الرابعة!
لماذا؟ لأنّ الخانة الأخيرة لا تترك أيّ حرّية: بعد اختيار ثلاثة أرقام، يبقى رقم واحد — ومكانه مفروض.
الضرب في \(1\) لا يغيّر شيئًا.
بعبارة أخرى: اختيار ثلاثة أرقام من أربعة يحدّد الرابع تلقائيًّا. هذه فكرة عميقة في التعداد، تذكّرها.