نص التمرين
باستعمال شجرة الاختيار، حدّد كلّ الأعداد المتكوّنة من ثلاثة أرقام مختلفة حيث:
• رقم آحادها مربّعٌ كامل،
• رقم عشراتها مضاعفٌ للعدد 6،
• رقم مئاتها قاسمٌ مشتركٌ لرقمَي آحادها وعشراتها.
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
الشرط الثالث ليس مثل الشرطين الأوّلين: إنّه يربط المواضع الثلاثة. لذلك لا تبدأ به.
اِبدأ بالشرطين المستقلّين (الآحاد، العشرات)، ثمّ اختبر الشرط الثالث على كلّ زوجٍ ناتج.
سؤالٌ عليك أن تحسمه قبل أن تبدأ: هل 0 مضاعفٌ للعدد 6؟ وإذا كان رقم العشرات 0، مَن يقسم 0؟ تجاهُلُ هذين السؤالين يُضيّع عليك أكثر من نصف الحلول.
المرحلة 2: منهجية الحل
- اُكتب مجموعة المربّعات الكاملة بين الأرقام العشرة.
- اُكتب مجموعة الأرقام المضاعفة للعدد 6.
- لكلّ زوج (آحاد، عشرات)، اِبحث عن كلّ القواسم المشتركة للرقمين — واحذف 0 لأنّه لا يصلح رقمَ مئات.
- تحقّق أخيرًا من شرط «أرقام مختلفة».
المرحلة 3: التصحيح المفصل
تحضير المجموعات
المربّعات الكاملة بين 0 و9: \(0=0^{2}\) ، \(1=1^{2}\) ، \(4=2^{2}\) ، \(9=3^{2}\) ⟶ الآحاد \(\in\{0\,;\,1\,;\,4\,;\,9\}\).
مضاعفات 6 بين 0 و9: \(0=6\times 0\) و\(6=6\times 1\) ⟶ العشرات \(\in\{0\,;\,6\}\).
نقطتان دقيقتان:
• \(0\) مضاعفٌ لكلّ عدد، لأنّ \(0=6\times 0\). فلا تحذفه من العشرات.
• كلُّ عددٍ صحيحٍ غير منعدم يقسم \(0\)، لأنّ \(0=d\times 0\). إذن إذا كان رقم العشرات 0، فشرطُ «قاسم مشترك» يتعلّق فعليًّا برقم الآحاد وحده.
• \(0\) مضاعفٌ لكلّ عدد، لأنّ \(0=6\times 0\). فلا تحذفه من العشرات.
• كلُّ عددٍ صحيحٍ غير منعدم يقسم \(0\)، لأنّ \(0=d\times 0\). إذن إذا كان رقم العشرات 0، فشرطُ «قاسم مشترك» يتعلّق فعليًّا برقم الآحاد وحده.
استكشاف الفروع
| عشرات | آحاد | القواسم المشتركة (عدا 0) | الأعداد |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 101 ✗ (تكرار الرقم 1) |
| 0 | 4 | 1 ، 2 ، 4 | 104 ، 204 ، 404 ✗ (نحتفظ بـ 104 و204) |
| 0 | 9 | 1 ، 3 ، 9 | 109 ، 309 ، 909 ✗ (نحتفظ بـ 109 و309) |
| 6 | 0 | قواسم 6: 1 ، 2 ، 3 ، 6 | 160 ، 260 ، 360 ، 660 ✗ |
| 6 | 4 | 1 ، 2 | 164 ، 264 |
| 6 | 9 | 1 ، 3 | 169 ، 369 |
| 6 | 1 | 1 | 161 ✗ (تكرار الرقم 1) |
| 0 | 0 | — | ✗ (تكرار الرقم 0) |
النتيجة
104 · 109 · 160 · 164 · 169 · 204 · 260 · 264 · 309 · 360 · 369
أحد عشر عددًا (11)
تحقّق من مثالٍ واحد: \(369\) ⟶ آحاده \(9=3^{2}\) ✓ ، عشراته \(6=6\times 1\) ✓ ، مئاته \(3\) يقسم \(6\) ويقسم \(9\) ✓ ، والأرقام 3 و6 و9 مختلفة ✓.
لماذا سقط \(404\) و\(909\) و\(660\)؟ ليس لأنّ شروط القسمة تخلّفت — بل لأنّ شرط «أرقام مختلفة» يعمل في الظلّ. اِفحصه دائمًا في النهاية، وإلاّ زاد عددُ حلولك.