التمرين 066 — تعداد — أرقام مختلفة

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

الأسئلة الثلاثة تختبر نفس الشيء بثلاث درجاتٍ من الصعوبة:

• 1) خمسة أرقامٍ فرديّة، ونريد عددًا من خمسة أرقام ⟶ نستعملها كلّها. و0 غير وارد ⟶ لا فخّ.
• 2) خمسة أرقامٍ زوجيّة، ونريد أربعة ⟶ نختار. و0 وارد ⟶ الفخّ يعود.
• 3) عشرة أرقام، ونريد ستّة ⟶ الفخّ نفسه، وأثرُه أكبر.

المرحلة 2: منهجية الحل

1. حدّد المجموعة التي نختار منها وعدد عناصرها.
2. إن كان 0 داخلها، عالِج الموضع الأوّل أوّلاً.
3. اُنقص 1 عند كلّ موضعٍ تالٍ (شرط «مختلفة»).

المرحلة 3: التصحيح المفصل

1) 5 أرقامٍ فرديّة مختلفة

الأرقام الفرديّة: \(\{1;3;5;7;9\}\) ⟶ خمسة بالضبط، ونريد خمسة مواضع ⟶ نستعملها كلّها بترتيباتٍ مختلفة.

و0 ليس فرديًّا ⟶ لا مشكلة في الموضع الأوّل.

\(5\times 4\times 3\times 2\times 1=\mathbf{120}\)

2) 4 أرقامٍ زوجيّة مختلفة

الأرقام الزوجيّة: \(\{0;2;4;6;8\}\) ⟶ خمسة، ونريد أربعة مواضع.

موضع الآلاف أوّلاً (\(\neq 0\)): \(\{2;4;6;8\}\) ⟶ 4 اختيارات.
ثمّ المئات: من الأربعة المتبقّية (بما فيها 0) ⟶ 4
ثمّ العشرات: 3  ·  ثمّ الآحاد: 2

\(4\times 4\times 3\times 2=\mathbf{96}\)

3) 6 أرقامٍ مختلفة

نختار من الأرقام العشرة \(\{0;\dots;9\}\)، والموضع الأوّل \(\neq 0\).

الموضع الأوّل: \(\{1;\dots;9\}\) ⟶ 9
الثاني: عادت كلّ الأرقام العشرة ناقص المستعمل ⟶ 9
الثالث: 8  ·  الرابع: 7  ·  الخامس: 6  ·  السادس: 5

\(9\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5=\mathbf{136\,080}\)