التمرين 065 — تعداد — تمارين مركّزة

🌳 التعداد⭐ التاسعة أساسي📘 تصحيح في 3 مراحل

نص التمرين

1) كم عددًا فرديًّا يتكوّن من 4 أرقام؟ 2) كم عددًا فرديًّا يتكوّن من 4 أرقام مختلفة؟ 3) كم عددًا يتكوّن من 4 أرقامٍ فرديّة مختلفة؟ 4) كم عددًا يتكوّن من 4 أرقامٍ زوجيّة مختلفة؟ 5) كم عددًا يتكوّن من 4 أرقامٍ مختلفة، رقمُ آحاده مضاعفٌ لـ3، ورقمُ مئاته يقسم 5، ورقمُ آلافه أوّليّ؟ 6) كم عددًا فرديًّا يتكوّن من 3 أرقام؟ 7) كم عددًا فرديًّا يتكوّن من 4 أرقام ورقمُ عشراته مضاعفٌ للعدد 3؟ 8) كم عددًا فرديًّا يتكوّن من 4 أرقام، ورقمُ عشراته مضاعفٌ للعدد 3، ورقمُ مئاته يقسم العدد 18؟

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

ثمانية أسئلة، لكنّها في الحقيقة سؤالان فقط يتكرّران:

بلا شرط «مختلفة» (1 ، 6 ، 7 ، 8) ⟶ المواضع مستقلّة ⟶ جداءٌ مباشر.
مع شرط «مختلفة» (2 ، 3 ، 4 ، 5) ⟶ عدد الاختيارات ينقص في كلّ موضع ⟶ اِبدأ بالموضع الأكثر تقييدًا.

الفرق بين السؤالين 2 و3:
• «عددٌ فرديّ من 4 أرقام مختلفة» ⟶ الآحاد وحده فرديّ (2345 صالح).
• «عددٌ من 4 أرقامٍ فرديّة مختلفة» ⟶ كلّ الأرقام فرديّة (1357 صالح، و2345 لا).

المرحلة 2: منهجية الحل

لكلّ سؤال، اسأل: هل يوجد شرط «مختلفة»؟
إن لا ⟶ اُكتب مجموعة كلّ موضعٍ واُضرب.
إن نعم ⟶ رتّب المواضع من الأكثر تقييدًا، ثمّ اُنقص 1 عند كلّ موضعٍ جديد.
لا تنسَ أبدًا: رقم الآلاف \(\neq 0\).

المرحلة 3: التصحيح المفصل

1) عددٌ فرديّ من 4 أرقام

آلاف: 9 · مئات: 10 · عشرات: 10 · آحاد (فرديّ): 5

\(9\times 10\times 10\times 5=\mathbf{4500}\)

2) عددٌ فرديّ من 4 أرقام مختلفة

نبدأ بالموضعين المقيَّدين:

الآحاد (فرديّ): \(\{1;3;5;7;9\}\) ⟶ 5
الآلاف (\(\neq 0\) و\(\neq\) الآحاد): من الأرقام التسعة غير المنعدمة نحذف رقم الآحاد (وهو فرديٌّ غير منعدم) ⟶ 8
المئات: \(10-2=\) 8 · العشرات: \(10-3=\) 7

\(5\times 8\times 8\times 7=\mathbf{2240}\)

3) 4 أرقامٍ فرديّة مختلفة

نختار من \(\{1;3;5;7;9\}\) (خمسة أرقام) ولا خطر من 0.

\(5\times 4\times 3\times 2=\mathbf{120}\)

4) 4 أرقامٍ زوجيّة مختلفة

نختار من \(\{0;2;4;6;8\}\)، لكنّ الآلاف \(\neq 0\).

الآلاف: \(\{2;4;6;8\}\) ⟶ 4 · ثمّ 4 ، 3 ، 2 من الباقي (و0 صار مسموحًا).

\(4\times 4\times 3\times 2=\mathbf{96}\)

قارن 3 و4: نفس عدد الأرقام المتاحة (5)، لكنّ الجواب 120 مقابل 96. الفارق كلّه بسبب الصفر الذي يمنع نفسه من موضع الآلاف.

5) 4 أرقامٍ مختلفة بشروطٍ ثلاثة

الآلاف (أوّليّ): \(\{2;3;5;7\}\) ⟶ 4
المئات (يقسم 5): قواسم 5 هي 1 و5 ⟶ \(\{1;5\}\) ⟶ 2
الآحاد (مضاعف لـ3): \(\{0;3;6;9\}\) ⟶ 4
العشرات: أيّ رقمٍ متبقٍّ ⟶ \(10-3=7\)

لكنّ المجموعات متداخلة ⟶ لا يمكن الضرب مباشرة. نحسب الثلاثيّات \((\text{آلاف},\text{مئات},\text{آحاد})\) الصالحة:

الجداء الخام \(4\times 2\times 4=32\). نطرح التعارضات:
• الآلاف \(=5\) والمئات \(=5\) ⟶ 4 حالات (حسب الآحاد) ⟶ تُحذف.
• الآلاف \(=3\) والآحاد \(=3\) ⟶ 2 حالة (حسب المئات) ⟶ تُحذف.
لا تعارض بين المئات \(\{1;5\}\) والآحاد \(\{0;3;6;9\}\) (لا عنصر مشترك).

الثلاثيّات الصالحة: \(32-4-2=26\). ولكلّ واحدةٍ منها 7 اختياراتٍ للعشرات:

\(26\times 7=\mathbf{182}\)

6) عددٌ فرديّ من 3 أرقام

\(9\times 10\times 5=\mathbf{450}\)

7) فرديّ من 4 أرقام، العشرات مضاعفٌ لـ3

مضاعفات 3: \(\{0;3;6;9\}\) ⟶ 4

\(9\times 10\times \mathbf{4}\times 5=\mathbf{1800}\)

8) + المئات تقسم 18

قواسم 18 (أرقام): \(\{1;2;3;6;9\}\) ⟶ 5 (18 نفسه ليس رقمًا)

\(9\times \mathbf{5}\times 4\times 5=\mathbf{900}\)

السؤال	1	2	3	4	5	6	7	8
الجواب	4500	2240	120	96	182	450	1800	900

الخلاصة الوحيدة التي تستحقّ الحفظ: «مختلفة» أم لا — هذا هو السؤال الأوّل الذي تطرحه على كلّ تمرين تعداد. الجواب يُقرّر إن كنتَ ستضرب مباشرةً أم ستُناقش.