نص التمرين
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
1: لا تُجرّب الأعداد واحدًا واحدًا إلى ما لا نهاية. كلُّ عددٍ صحيحٍ إمّا زوجيّ وإمّا فرديّ — حالتان فقط. ادرسهما.
2: كيف نُثبت أنّ شيئًا ليس كذا؟ بالتناقض مع خاصّيّةٍ لازمة.
لو كان \(A\) مربّعًا كاملاً، لَوَجب أن يكون باقيه على 4 من بين البواقي التي وجدتَها في السؤال 1. فما هو باقي \(4n+3\) على 4؟
المرحلة 2: منهجية الحل
- 1) ناقش حسب زوجيّة \(k\): ضَعْ \(k=2m\) ثمّ \(k=2m+1\)، واُحسب \(k^{2}\) في كلّ حالة.
- تحقّق دائمًا من شرط الباقي: \(0\le r<4\).
- 2) اُقرأ باقي \(A=4n+3\) على 4 مباشرةً من الكتابة.
- قارِنه بقائمة البواقي الممكنة، واِستنتج.
المرحلة 3: التصحيح المفصل
1) البواقي الممكنة لـ \(k^{2}\) على 4
الحالة 1 — \(k\) زوجيّ: \(k=2m\)
\(k^{2}=(2m)^{2}=4m^{2}=4\times m^{2}+\mathbf{0}\) ⟶ الباقي 0 (و\(0\le 0<4\) ✓)
الحالة 2 — \(k\) فرديّ: \(k=2m+1\)
\(k^{2}=4m^{2}+4m+1=4\left(m^{2}+m\right)+\mathbf{1}\) ⟶ الباقي 1 (و\(0\le 1<4\) ✓)
البواقي الممكنة لمربّعٍ كاملٍ على 4 هي: 0 أو 1 — لا غير.
| \(k\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(k^{2}\) | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 |
| الباقي على 4 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
لا يظهر أبدًا الباقي 2 ولا الباقي 3. والبرهان أعلاه يقول لماذا — الجدول وحده لا يكفي، فهو لا يفحص إلاّ أعدادًا قليلة.
2) \(A=4n+3\) ليس مربّعًا كاملاً
الكتابة \(A=4\times n+3\) هي بالضبط شكلُ القسمة الإقليدية على 4، والباقي \(3\) يُحقّق \(0\le 3<4\).
إذن باقي قسمة \(A\) على 4 هو 3.
لكن — من السؤال 1، باقي أيّ مربّعٍ كاملٍ على 4 هو 0 أو 1.
و\(3\notin\{0\,;\,1\}\).
⟶ لا يمكن لـ \(A\) أن يكون مربّعًا كاملاً. ✓
لإثبات أنّ عددًا لا يمكن أن يكون من نوعٍ معيّن، اِبحث عن خاصّيّةٍ يشترك فيها كلُّ أعداد ذلك النوع — ثمّ بيّن أنّ عددك يخالفها.
لاحظ الاقتصاد: لم نحاول أن نجد جذر \(A\)، ولم نُجرّب أيّ عدد. حَسَمنا في حالتين اثنتين، إلى الأبد.