نص التمرين
أوجد كلّ القيم الممكنة لعددين \(a\) و\(b\) بحيث \(a+b=90\) والقاسم المشترك الأكبر \(\text{ق.م.أ}(a\,;\,b)=6\).
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
«\(\text{ق.م.أ}(a;b)=6\)» يعني شيئين معًا، ولا تكفي الجملة الأولى وحدها:
- 6 يقسم \(a\) و6 يقسم \(b\) ⟶ نكتب \(a=6a'\) و\(b=6b'\).
- ولا يوجد قاسمٌ مشتركٌ أكبر من 6 ⟶ إذن \(a'\) و\(b'\) أوليان فيما بينهما.
تجاهُلُ الشرط الثاني هو الخطأ القاتل. لو اكتفيتَ بأنّ 6 يقسم كليهما، لَقبِلتَ الزوج \((30\,;\,60)\) — لكنّ \(\text{ق.م.أ}(30;60)=30\)، لا 6.
المرحلة 2: منهجية الحل
- ضَعْ \(a=6a'\) و\(b=6b'\) واِستبدل في \(a+b=90\).
- اِستنتج معادلةً على \(a'+b'\).
- اِبحث عن كلّ الأزواج \((a';b')\) الأوليّة فيما بينها.
- اِرجع إلى \(a\) و\(b\) بالضرب في 6، وتحقّق من ق.م.أ في كلّ زوج.
المرحلة 3: التصحيح المفصل
الترجمة
\(\text{ق.م.أ}(a;b)=6\) ⟶ نكتب \(a=6a'\) و\(b=6b'\) حيث \(a'\) و\(b'\) أوليان فيما بينهما.
نُعوّض في \(a+b=90\):
\(6a'+6b'=90\) ⟶ \(6\,(a'+b')=90\) ⟶ \(\mathbf{a'+b'=15}\)
البحث عن الأزواج
نبحث عن \(a'\) بين 1 و14 بحيث \(\text{ق.م.أ}(a'\,;\,15-a')=1\).
ملاحظة تُختصر العمل: كلُّ قاسمٍ مشتركٍ لـ\(a'\) و\(b'\) يقسم مجموعهما، أي 15. إذن يكفي أن يكون \(a'\) أوليًّا مع 15 — وقواسم 15 هي 3 و5.
نستبعد إذن مضاعفات 3 ومضاعفات 5:
| \(a'\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(b'=15-a'\) | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
| ق.م.أ | 1 | 1 | 3 | 1 | 5 | 3 | 1 | 1 | 3 | 5 | 1 | 3 | 1 | 1 |
الحالات المقبولة: \(a'\in\{1\,;\,2\,;\,4\,;\,7\,;\,8\,;\,11\,;\,13\,;\,14\}\)
الحلول
| \(a'\;;\;b'\) | \(a=6a'\) | \(b=6b'\) | تحقّق: \(a+b\) | ق.م.أ |
|---|---|---|---|---|
| 1 ; 14 | 6 | 84 | 90 ✓ | 6 ✓ |
| 2 ; 13 | 12 | 78 | 90 ✓ | 6 ✓ |
| 4 ; 11 | 24 | 66 | 90 ✓ | 6 ✓ |
| 7 ; 8 | 42 | 48 | 90 ✓ | 6 ✓ |
\((a\,;\,b)\in\{(6;84)\,,\,(12;78)\,,\,(24;66)\,,\,(42;48)\}\)
وإذا اعتبرنا الترتيب مهمًّا، نُضيف الأزواج المقلوبة ⟶ 8 حلول.
الاختصار الذي استعملناه، وهو الدرس الحقيقيّ: بدل اختبار \(\text{ق.م.أ}(a';15-a')\) أربع عشرة مرّة، لاحظنا أنّ كلّ قاسمٍ مشتركٍ لـ\(a'\) و\(b'\) يقسم مجموعهما \(=15\). فصار السؤال: «هل \(a'\) أوليّ مع 15؟» — وهذا يُقرأ فورًا.
اِحفظ الأداة: \(d\mid a\) و\(d\mid b\) ⟶ \(d\mid a+b\) و\(d\mid a-b\).
اِحفظ الأداة: \(d\mid a\) و\(d\mid b\) ⟶ \(d\mid a+b\) و\(d\mid a-b\).