التمرين 040 — أعداد متتالية ومضاعفات

🔢 قابلية القسمة⭐ التاسعة أساسي📘 تصحيح في 3 مراحل

نص التمرين

ليكن \(n\) عددًا صحيحًا طبيعيًّا مخالفًا للصفر. 1) بيّن أنّ \(\dfrac{n\,(n+1)}{2}\) هو عددٌ صحيحٌ طبيعيّ. 2) بيّن أنّ \(n\,(n+1)\,(2n+1)\) هو عددٌ مضاعفٌ لـ6.

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

1: لكي يكون الكسر عددًا صحيحًا، يجب أن يكون البسط \(n(n+1)\) زوجيًّا. فهل هو كذلك دائمًا؟

\(n\) و\(n+1\) عددان متتاليان. ماذا تعرف عن زوجيّتهما؟

2: \(6=2\times 3\). العامل 2 ستحصل عليه من السؤال 1. أمّا العامل 3 فهو التحدّي الحقيقيّ.

فخّ: الجداء \(n(n+1)(2n+1)\) ليس جداءَ ثلاثة أعدادٍ متتالية (\(2n+1\) ليس \(n+2\)). فلا تستعمل تلك القاعدة هنا — لن تعمل. عليك أن تُناقش حسب باقي قسمة \(n\) على 3.

المرحلة 2: منهجية الحل

1) بيّن أنّ \(n(n+1)\) زوجيّ (ناقش زوجيّة \(n\))، ثمّ اِستنتج.
2-أ) القسمة على 2: مباشرةٌ من السؤال 1.
2-ب) القسمة على 3: ناقش الحالات الثلاث \(n=3k\) ، \(n=3k+1\) ، \(n=3k+2\).
اِجمع (2 و3 أوليان فيما بينهما).

المرحلة 3: التصحيح المفصل

1) \(\dfrac{n(n+1)}{2}\) عددٌ صحيح

\(n\) و\(n+1\) عددان متتاليان: أحدهما زوجيٌّ حتمًا.

الحالة \(n\) زوجيّ: \(n=2m\) ⟶ \(n(n+1)=2m(n+1)\) ⟶ زوجيّ ✓
الحالة \(n\) فرديّ: \(n+1\) زوجيّ ⟶ \(n+1=2m\) ⟶ \(n(n+1)=2mn\) ⟶ زوجيّ ✓

في الحالتين \(n(n+1)=2q\) ⟶ \(\dfrac{n(n+1)}{2}=q\) عددٌ صحيحٌ طبيعيّ. ✓

القاعدة التي تنبثق: جداءُ عددين متتاليين زوجيٌّ دائمًا. لهذا يمكن قسمته على 2 دون خوف.

2) \(n(n+1)(2n+1)\) مضاعفٌ لـ6

\(6=2\times 3\)، و2 و3 أوليان فيما بينهما ⟶ نُثبت القسمة على كلٍّ منهما.

القسمة على 2

من السؤال 1: \(n(n+1)\) زوجيّ ⟶ الجداء كلّه زوجيّ. ✓

القسمة على 3 — ثلاث حالات

الحالة	العامل المضاعف لـ3	التعليل
\(n=3k\)	\(n\)	\(n=3k\) ⟶ مضاعفٌ لـ3 مباشرة
\(n=3k+1\)	\(2n+1\)	\(2n+1=2(3k+1)+1=6k+3=3(2k+1)\) ✓
\(n=3k+2\)	\(n+1\)	\(n+1=3k+3=3(k+1)\) ✓

في كلّ الحالات، أحدُ العوامل الثلاثة مضاعفٌ لـ3 ⟶ الجداء مضاعفٌ لـ3. ✓

الخلاصة

الجداء مضاعفٌ لـ2 ولـ3، وهما أوليان فيما بينهما ⟶ مضاعفٌ لـ\(\mathbf{6}\). ✓

تحقّق

\(n\)	1	2	3	4	5	6
\(n(n+1)(2n+1)\)	6	30	84	180	330	546
\(\div 6\)	1	5	14	30	55	91

الحالة \(n=3k+1\) هي قلبُ التمرين. هي الحالة الوحيدة التي لا يُنقذها فيها \(n\) ولا \(n+1\) — فيتدخّل \(2n+1\). ولهذا وُضع هذا العامل الغريب في الجداء: ليسدّ الثغرة الوحيدة. لو كان \(n(n+1)(n+2)\) لكانت ثلاثةَ أعدادٍ متتالية والقاعدةُ جاهزة. أمّا هنا فقد أُجبرنا على المناقشة — وهذا هو الدرس.