التمرين 039 — مربّعات الأعداد الفردية

🔢 قابلية القسمة⭐ التاسعة أساسي📘 تصحيح في 3 مراحل

نص التمرين

\(a\) و\(b\) عددان صحيحان طبيعيّان فرديّان. 1) بيّن أنّ \(3a^{2}+45\) يقبل القسمة على 24. 2) حدّد الأعداد الصحيحة \(n\) بحيث يكون \(a^{2}+b^{2}+1+n\) مضاعفًا للعدد 4.

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

الأداة الوحيدة في هذا التمرين هي هذه: ما شكلُ مربّعِ عددٍ فرديّ؟

اُكتب \(a=2p+1\)، اُحسب \(a^{2}\)، وحلّل. ستحصل على \(4p(p+1)+1\).

وتذكّر (من التمرين 27): \(p(p+1)\) جداءُ عددين متتاليين ⟶ زوجيّ دائمًا.

النتيجة التي ستُخرجها، واحفظها: مربّعُ كلّ عددٍ فرديّ يُكتب على شكل \(8m+1\). هذه الجملة تحلّ السؤالين معًا.

المرحلة 2: منهجية الحل

  1. اُكتب \(a=2p+1\) واُحسب \(a^{2}\)، ثمّ أظهِر الشكل \(8m+1\).
  2. 1) عوّض في \(3a^{2}+45\) واختصر، ثمّ أخرِج العامل 24.
  3. 2) عوّض \(a^{2}=8m+1\) و\(b^{2}=8m'+1\) في \(a^{2}+b^{2}+1+n\).
  4. اُشترط أن يكون المجموع مضاعفًا لـ4، واِستنتج شرطًا على \(n\).

المرحلة 3: التصحيح المفصل

الأداة: شكلُ مربّع عددٍ فرديّ

\(a\) فرديّ ⟶ \(a=2p+1\).

\(a^{2}=(2p+1)^{2}=4p^{2}+4p+1=4\,p(p+1)+1\)

و\(p(p+1)\) جداءُ عددين متتاليين ⟶ زوجيّ ⟶ نكتب \(p(p+1)=2m\).

\(\mathbf{a^{2}=8m+1}\)

1) \(3a^{2}+45\) يقبل القسمة على 24

\(3a^{2}+45=3\,(8m+1)+45=24m+3+45=24m+48\)

\(=24\,(m+2)\) ⟶ مضاعفٌ للعدد 24. ✓

تحقّق: \(a=3\) ⟶ \(3\times 9+45=72=24\times 3\) ✓  ·  \(a=5\) ⟶ \(75+45=120=24\times 5\) ✓  ·  \(a=7\) ⟶ \(147+45=192=24\times 8\) ✓

العامل 3 كان جاهزًا في \(3a^{2}\). والعامل 8 جاء من \(a^{2}=8m+1\). و\(3\times 8=24\). أمّا العدد 45 فدورُه أن يُكمل \(3\) إلى \(48=24\times 2\). كلّ رقمٍ في الصيغة موضوعٌ بحساب.

2) الأعداد \(n\) بحيث \(a^{2}+b^{2}+1+n\) مضاعفٌ لـ4

\(a\) و\(b\) فرديّان ⟶ \(a^{2}=8m+1\) و\(b^{2}=8m'+1\).

\(a^{2}+b^{2}+1+n=(8m+1)+(8m'+1)+1+n=8\,(m+m')+3+n\)

الحدّ \(8(m+m')\) مضاعفٌ لـ4 دائمًا (لأنّ \(8=4\times 2\)).

إذن المجموع مضاعفٌ لـ4 إذا وفقط إذا كان \(3+n\) مضاعفًا للعدد 4.

\(3+n=4t\) ⟶ \(\;\mathbf{n=4t-3}\)، أي \(n\) من الشكل \(\mathbf{4t+1}\).

\(n\in\{\,1\;;\;5\;;\;9\;;\;13\;;\;17\;;\;21\;;\;\dots\}\)
أي كلّ عددٍ يترك الباقي 1 عند القسمة على 4

تحقّق: \(a=3\) و\(b=5\) و\(n=1\) ⟶ \(9+25+1+1=36=4\times 9\) ✓
\(a=1\) و\(b=7\) و\(n=5\) ⟶ \(1+49+1+5=56=4\times 14\) ✓

الملاحظة الجوهريّة: الجواب لا يتعلّق بـ\(a\) ولا بـ\(b\) إطلاقًا — يكفي أنّهما فرديّان. لأنّ كلّ مربّعٍ فرديٍّ يترك نفس الباقي (وهو 1) عند القسمة على 8. البواقي هي التي تحكم، لا الأعداد نفسها.