نص التمرين
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
خمسةُ أسئلة، لكنّ الأدوات ثلاثٌ فقط:
- مجموع الأرقام ⟶ للقسمة على 3 و9.
- آخر رقمين ⟶ للقسمة على 4.
- آخر ثلاثة أرقام ⟶ للقسمة على 8.
و12 و6 ليسا أداتين جديدتين: \(12=4\times 3\) و\(6=2\times 3\) ⟶ يُبنيان من الأدوات السابقة.
المرحلة 2: منهجية الحل
- اُكتب مجموع الأرقام بدلالة \(a\): \(7+3+a+4\).
- ج) طبّق معيار 4 على \(\overline{a4}\).
- د) طبّق معيار 9 على المجموع.
- ب) \(6=2\times 3\): تحقّق من الزوجيّة ثمّ من معيار 3.
- أ) \(12=4\times 3\): تقاطعُ جوابَي (ج) ومعيار 3.
- هـ) طبّق معيار 8 على \(\overline{3a4}\).
المرحلة 3: التصحيح المفصل
تحضير
مجموع أرقام \(m\) هو \(\;7+3+a+4=\mathbf{14+a}\).
رقم الآحاد ثابتٌ ويساوي 4 ⟶ \(m\) زوجيّ دائمًا.
ج) القسمة على 4
المعيار: العدد \(\overline{a4}=10a+4\) قابلٌ للقسمة على 4.
| \(a\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\overline{a4}\) | 04 | 14 | 24 | 34 | 44 | 54 | 64 | 74 | 84 | 94 |
| ÷4 ؟ | ✓ | ✗ | ✓ | ✗ | ✓ | ✗ | ✓ | ✗ | ✓ | ✗ |
\(a\in\{\,\mathbf{0}\;;\;\mathbf{2}\;;\;\mathbf{4}\;;\;\mathbf{6}\;;\;\mathbf{8}\,\}\) ⟶ \(a\) زوجيّ
د) القسمة على 9
\(14+a\) مضاعفٌ لـ9. و\(a\) رقمٌ ⟶ \(14\le 14+a\le 23\).
مضاعف 9 الوحيد في هذا المجال هو 18 ⟶ \(14+a=18\) ⟶ \(\mathbf{a=4}\).
تحقّق: \(7334+... \) بل \(m=7344\) ⟶ \(7344=9\times 816\) ✓
ب) القسمة على 6
\(6=2\times 3\) (أوليان فيما بينهما).
على 2: محقّقٌ دائمًا (الآحاد 4). ✓ ⟶ لا شرط على \(a\).
على 3: \(14+a\) مضاعفٌ لـ3 ⟶ \(14+a\in\{15\,;\,18\,;\,21\}\) ⟶ \(a\in\{1\,;\,4\,;\,7\}\).
\(a\in\{\,\mathbf{1}\;;\;\mathbf{4}\;;\;\mathbf{7}\,\}\)
أ) القسمة على 12
\(12=4\times 3\) (أوليان فيما بينهما) ⟶ نأخذ تقاطع الشرطين:
القسمة على 4 ⟶ \(a\in\{0;2;4;6;8\}\) (من ج)
القسمة على 3 ⟶ \(a\in\{1;4;7\}\) (من ب)
التقاطع: \(\{0;2;4;6;8\}\cap\{1;4;7\}=\{\,\mathbf{4}\,\}\)
\(\mathbf{a=4}\) ⟶ \(m=7344=12\times 612\) ✓
هـ) القسمة على 8
المعيار: آخر ثلاثة أرقام \(\overline{3a4}=300+10a+4=304+10a\).
| \(a\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\overline{3a4}\) | 304 | 314 | 324 | 334 | 344 | 354 | 364 | 374 | 384 | 394 |
| ÷8 ? | ✓ \(8{\times}38\) | ✗ | ✗ | ✗ | ✓ \(8{\times}43\) | ✗ | ✗ | ✗ | ✓ \(8{\times}48\) | ✗ |
\(a\in\{\,\mathbf{0}\;;\;\mathbf{4}\;;\;\mathbf{8}\,\}\)
ملخّص
| قابل للقسمة على | 12 | 6 | 4 | 9 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(a\) | 4 | 1 ; 4 ; 7 | 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 | 4 | 0 ; 4 ; 8 |