نص التمرين
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
مجهولان هذه المرّة، لا مجهولٌ واحد. لكنّ المنهج نفسه: فكّك العدد المركّب إلى عاملين أوليين فيما بينهما.
- \(15=3\times 5\) · \(12=4\times 3\) · \(6=2\times 3\)
في الحالات الثلاث يظهر العامل 3. فلنُحضّر مجموع الأرقام مرّةً واحدةً ونستعمله ثلاث مرّات.
وفي كلّ حالة، الشرطُ الآخر يخصّ الآحاد وحده (5 ، 2) أو آخر رقمين (4). اِبدأ به، فهو الذي يُقلّص العمل.
المرحلة 2: منهجية الحل
- اُحسب مجموع الأرقام بدلالة \(a\) و\(b\).
- لكلّ حالة: طبّق الشرط على الآحاد (أو على \(\overline{ab}\)) أوّلاً ⟶ يُعطيك فروعًا قليلة.
- في كلّ فرع، طبّق معيار 3 على المجموع.
- اُجمع الحلول.
المرحلة 3: التصحيح المفصل
تحضير
مجموع أرقام \(x\) هو: \(\;1+9+5+6+a+b=\mathbf{21+a+b}\).
و\(21=3\times 7\) ⟶ \(21\) مضاعفٌ لـ3. إذن معيار 3 يصبح ببساطة: \(a+b\) مضاعفٌ لـ3.
أ) القسمة على 15
\(15=3\times 5\).
معيار 5: \(b\in\{0\,;\,5\}\) ⟶ فرعان.
الفرع \(b=0\): \(a+0=a\) مضاعفٌ لـ3 ⟶ \(a\in\{0\,;\,3\,;\,6\,;\,9\}\)
الفرع \(b=5\): \(a+5\) مضاعفٌ لـ3 ⟶ \(a+5\in\{6;9;12\}\) ⟶ \(a\in\{1\,;\,4\,;\,7\}\)
سبعة حلول: \((a;b)\in\{(0;0)\,,\,(3;0)\,,\,(6;0)\,,\,(9;0)\,,\,(1;5)\,,\,(4;5)\,,\,(7;5)\}\)
الأعداد: 195600 · 195630 · 195660 · 195690 · 195615 · 195645 · 195675
تحقّق: \(195615=15\times 13041\) ✓
ب) القسمة على 12
\(12=4\times 3\).
معيار 4: \(\overline{ab}=10a+b\) قابلٌ للقسمة على 4.
معيار 3: \(a+b\) مضاعفٌ لـ3.
نبحث عن الأزواج التي تُحقّق الشرطين معًا:
| \((a;b)\) | (0;0) | (1;2) | (2;4) | (3;6) | (4;8) | (6;0) | (7;2) | (8;4) | (9;6) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\overline{ab}\) ÷4 | 00 ✓ | 12 ✓ | 24 ✓ | 36 ✓ | 48 ✓ | 60 ✓ | 72 ✓ | 84 ✓ | 96 ✓ |
| \(a+b\) ÷3 | 0 ✓ | 3 ✓ | 6 ✓ | 9 ✓ | 12 ✓ | 6 ✓ | 9 ✓ | 12 ✓ | 15 ✓ |
تسعة حلول: \((0;0)\,,\,(1;2)\,,\,(2;4)\,,\,(3;6)\,,\,(4;8)\,,\,(6;0)\,,\,(7;2)\,,\,(8;4)\,,\,(9;6)\)
تحقّق: \(195612=12\times 16301\) ✓
ج) القسمة على 6
\(6=2\times 3\).
معيار 2: \(b\) زوجيّ ⟶ \(b\in\{0;2;4;6;8\}\)
معيار 3: \(a+b\) مضاعفٌ لـ3
لكلّ قيمةٍ زوجيّةٍ لـ\(b\)، نبحث عن قيم \(a\):
| \(b\) | الشرط على \(a\) | قيم \(a\) | العدد |
|---|---|---|---|
| 0 | \(a\) مضاعف لـ3 | 0 ; 3 ; 6 ; 9 | 4 |
| 2 | \(a+2\) مضاعف لـ3 | 1 ; 4 ; 7 | 3 |
| 4 | \(a+4\) مضاعف لـ3 | 2 ; 5 ; 8 | 3 |
| 6 | \(a+6\) مضاعف لـ3 | 0 ; 3 ; 6 ; 9 | 4 |
| 8 | \(a+8\) مضاعف لـ3 | 1 ; 4 ; 7 | 3 |
\(4+3+3+4+3=\mathbf{17}\) حلاًّ
القاعدة التي تنبثق: كلّما احتاج المعيارُ إلى أرقامٍ أكثر، كان أقوى، وكانت الحلول أقلّ. رتّب معاييرك من الأصرم إلى الأليَن.