التمرين 028 — القسمة على 12

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

\(12=4\times 3\)، و4 و3 أوليان فيما بينهما. إذن يكفي أن تُثبت القسمة على 4 والقسمة على 3 بشكلٍ منفصل.

اِستعمل (أ) لتكتب \(n^{2}(n^{2}-1)\) على شكل جداءٍ يُظهر أعدادًا متتالية.

المرحلة 2: منهجية الحل

1. أ) اُنشر \((n-1)(n+1)\).
2. ب) اُكتب \(n^{2}(n^{2}-1)=n\times n\times (n-1)\times (n+1)\).
3. القسمة على 3: اِبحث عن ثلاثة أعدادٍ متتالية داخل الجداء.
4. القسمة على 4: ناقش حسب زوجيّة \(n\).
5. اِجمع النتيجتين (4 و3 أوليان فيما بينهما).

المرحلة 3: التصحيح المفصل

أ) النشر

\((n-1)(n+1)=n^{2}-1\)

ب) 12 يقسم \(n^{2}\left(n^{2}-1\right)\)

باستعمال (أ): \(n^{2}\left(n^{2}-1\right)=n^{2}\,(n-1)(n+1)=n\times n\times (n-1)\times (n+1)\).

لنُعِد ترتيب العوامل: \(\;(n-1)\times n\times (n+1)\;\times\; n\)

القسمة على 3

الأعداد \(n-1\) و\(n\) و\(n+1\) هي ثلاثة أعدادٍ متتالية. ومن بين كلّ ثلاثة أعدادٍ متتالية يوجد حتمًا واحدٌ مضاعفٌ للعدد 3.

إذن الجداء مضاعفٌ للعدد 3. ✓

القسمة على 4 — حالتان

الحالة 1: \(n\) زوجيّ. نكتب \(n=2k\). إذن \(n^{2}=4k^{2}\) ⟶ العامل \(n^{2}\) وحده مضاعفٌ للعدد 4. ✓

الحالة 2: \(n\) فرديّ. عندئذٍ \(n-1\) و\(n+1\) عددان زوجيان متتاليان (مثل 6 و8).

نكتب \(n-1=2m\) و\(n+1=2m+2=2(m+1)\).
\((n-1)(n+1)=2m\times 2(m+1)=4\,m(m+1)\) ⟶ مضاعفٌ للعدد 4 ✓ (بل و8، لأنّ \(m(m+1)\) زوجيّ).

في الحالتين، الجداء مضاعفٌ للعدد 4.

الخلاصة

الجداء مضاعفٌ لـ3 ومضاعفٌ لـ4، و3 و4 أوليان فيما بينهما.

إذن \(n^{2}\left(n^{2}-1\right)\) مضاعفٌ للعدد \(3\times 4=\mathbf{12}\). ✓

تحقّق