التمرين 027 — القسمة على 8

🔢 قابلية القسمة⭐ التاسعة أساسي📘 تصحيح في 3 مراحل

نص التمرين

ليكن \(a\) عددًا صحيحًا طبيعيًّا فرديًّا، ونضع \(B=(a-1)(a+1)\). 1) اُنشر واختصر العبارة \(B\). 2) ليكن \(p\) العدد الصحيح بحيث \(a=2p+1\). أ) اُكتب \(B\) بدلالة \(p\). ب) بيّن أنّ \(B\) يقبل القسمة على 4. ت) بيّن أنّ \(B\) يقبل القسمة على 8.

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

السؤال 2-ب و2-ت متتاليان، وهذا مقصود: أوّلاً 4، ثمّ 8. إذا وصلتَ مباشرة إلى 8 فقد فاتك شيء.

بعد أن تكتب \(B\) بدلالة \(p\)، ستحصل على \(4\times(\text{شيء})\). العامل 4 ظاهر. أمّا العامل 2 الإضافي (لتصل إلى 8) فمخبّأٌ داخل ذلك «الشيء».

اُنظر إلى «الشيء»: هل هو جداءُ عددين متتاليين؟ وماذا تعرف عن جداء عددين متتاليين؟

المرحلة 2: منهجية الحل

اُنشر \((a-1)(a+1)\) — إنّها متطابقةٌ شهيرة.
عوّض \(a=2p+1\) في \(a-1\) و\(a+1\) قبل النشر: العاملان يصبحان بسيطين جدًّا.
أخرِج العامل 4.
لإثبات القسمة على 8، بيّن أنّ العامل المتبقّي زوجيّ.

المرحلة 3: التصحيح المفصل

1) النشر

\(B=(a-1)(a+1)=a^{2}-1\) (متطابقة الفرق بين مربّعين)

2-أ) \(B\) بدلالة \(p\)

\(a=2p+1\) ⟶ \(a-1=2p\) و \(a+1=2p+2=2(p+1)\).

\(B=2p\times 2(p+1)=\mathbf{4\,p\,(p+1)}\)

لاحظ أنّنا عوّضنا قبل النشر. لو نشرنا أوّلاً لحصلنا على \(B=(2p+1)^{2}-1=4p^{2}+4p\) — وهو نفس الشيء، لكنّ الشكل \(4p(p+1)\) يُظهر البنية بينما \(4p^{2}+4p\) يُخفيها. الشكل المحلَّل هو الذي يتكلّم.

2-ب) \(B\) يقبل القسمة على 4

\(B=4\times\left[p(p+1)\right]\)، و\(p(p+1)\) عددٌ صحيح.

إذن \(B\) مضاعفٌ للعدد 4. ✓

2-ت) \(B\) يقبل القسمة على 8

ندرس \(p(p+1)\): إنّه جداءُ عددين صحيحين متتاليين.

من بين كلّ عددين متتاليين، هناك دائمًا واحدٌ زوجيّ على الأقلّ (إن كان \(p\) زوجيًّا فهو هو، وإن كان فرديًّا فـ\(p+1\) زوجيّ).

إذن \(p(p+1)\) عددٌ زوجيّ. نكتب \(p(p+1)=2k\).

\(B=4\times 2k=\mathbf{8k}\) ⟶ \(B\) مضاعفٌ للعدد 8. ✓

تحقّق عدديّ

\(a\) (فرديّ)	3	5	7	9	11
\(B=a^{2}-1\)	8	24	48	80	120
\(B\div 8\)	1	3	6	10	15

القاعدة التي انبثقت: جداءُ عددين متتاليين زوجيٌّ دائمًا. لم نفرضها — رأيناها تعمل. وهي التي حوّلت «مضاعف لـ4» إلى «مضاعف لـ8». اِحفظها: ستخدمك في كلّ تمارين هذا الباب.