التمرين 026 — القسمة الإقليدية والأعداد الأولية

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

1: «حدّد الخارج والباقي» يعني كتابة العدد على شكل \(3\times q+r\) مع الشرط الصارم \(0\le r<3\).

في \(12n+7\): الحدّ \(12n\) صديقُك (مضاعف لـ3). المشكلة كلّها في العدد 7. اُكتبه \(6+1\).

في \(33n+305\): نفس الشيء. \(33n\) مضاعفٌ لـ3. وماذا عن 305؟

المرحلة 2: منهجية الحل

1. لكلٍّ من \(x\) و\(y\)، أخرِج العامل 3 من أكبر جزءٍ ممكن، ثمّ تحقّق من شرط الباقي.
2. اِجمع \(x\) و\(y\) واختصر.
3. لإثبات أنّ عددًا ليس أوّليًّا، يكفي أن تجد له قاسمًا غير 1 وغير نفسه. اُنظر إلى بواقي السؤال 1: ماذا يعطي مجموعهما؟

المرحلة 3: التصحيح المفصل

1) القسمة الإقليدية على 3

العدد \(x\): \(x=12n+7=12n+6+1=3\,(4n+2)+1\).

الباقي \(1\) يُحقّق \(0\le 1<3\) ✓ ⟶ الخارج \(=4n+2\) والباقي \(=1\).

العدد \(y\): \(305=303+2=3\times 101+2\).

\(y=33n+305=33n+303+2=3\,(11n+101)+2\).

الباقي \(2\) يُحقّق \(0\le 2<3\) ✓ ⟶ الخارج \(=11n+101\) والباقي \(=2\).

2) \(x+y\) بدلالة \(n\)

\(x+y=(12n+7)+(33n+305)=45n+312\)

3) \(x+y\) ليس عددًا أوّليًّا

لاحظ أوّلاً ما يقوله السؤال 1: باقي \(x\) هو 1، وباقي \(y\) هو 2. ومجموعهما \(1+2=3\) — وهو مضاعفٌ لـ3!

هذا يعني أنّ \(x+y\) قابلٌ للقسمة على 3. ولنتحقّق جبريًّا:

\(45n+312=3\times 15n+3\times 104=\mathbf{3\,(15n+104)}\)

إذن 3 يقسم \(x+y\).

هل هذا يكفي؟ لا. علينا التأكّد أنّ 3 ليس \(x+y\) نفسه ولا 1:

بما أنّ \(n\ge 0\)، فإنّ \(x+y=45n+312\ge 312\).

إذن \(x+y\) له قاسمٌ (وهو 3) يخالف 1 ويخالف \(x+y\) نفسه.

⟶ \(x+y\) ليس عددًا أوّليًّا، مهما كان \(n\). ✓