نص التمرين
طفل لديه مجموعة من السيارات الصغيرة. نظّمها في صفوف من 6 سيارات فبقيت له 3.
ثمّ أعاد تنظيمها في صفوف من 5 سيارات فلم تبقَ أيّ سيارة.
1) لو أراد تنظيمها في صفوف من 3 سيارات، هل يمكنه ذلك دون باقٍ؟ علّل جوابك.
2) هل يمكنه تنظيمها في صفوف من سيارتين دون باقٍ؟ علّل.
3) ما هو عدد السيارات، علمًا أنّ عددها أصغر من \(100\) ؟
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
لا تبحث عن العدد أوّلاً! السؤال الأوّل يمكن الإجابة عنه دون معرفة العدد.
ترجم المعطيات إلى قسمة إقليدية:
«صفوف من \(6\) وبقيت \(3\)» ⟹ \(n = 6q + 3\)
«صفوف من \(5\) دون باقٍ» ⟹ \(n = 5k\)
الآن انظر جيّدًا إلى \(n = 6q + 3\). هل ترى عاملاً مشتركًا؟
المرحلة 2: منهجية الحل
- ترجم كلّ جملة من النصّ إلى كتابة رياضية (قسمة إقليدية).
- حلّل العبارة المتحصَّل عليها — لا تحسب.
- للسؤال الثالث فقط: ابحث عن الأعداد التي تحقّق الشرطَين معًا، ثمّ استعمل \(n < 100\).
المرحلة 3: التصحيح المفصل
1) صفوف من 3 سيارات — دون حساب العدد!
من المعطى: \(n = 6q + 3\).
العدد \(n\) هو جداء فيه العامل \(3\) ⟹ نعم، يمكنه تنظيمها في صفوف من \(3\) دون باقٍ، مهما كان \(q\).
لاحظ جيّدًا: لم نحتج إلى معرفة عدد السيارات. التحليل وحده كفى.
2) صفوف من سيارتين ؟
من التحليل: \(n = 3\left(2q+1\right)\). العامل \(2q+1\) هو فرديّ دائمًا (عدد زوجيّ زائد \(1\)).
إذن \(n = 3 \times (\text{فرديّ})\) = جداء عددين فرديَّين = عدد فرديّ.
3) عدد السيارات
الشرطان: \(n\) مضاعف لـ\(5\)، و\(n = 6q+3\).
ومن السؤال 2 نعرف أنّ \(n\) فرديّ. مضاعفات \(5\) الفردية هي: \(5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95\).
نختبر شرط «الباقي \(3\) عند القسمة على \(6\)»:
| n | n ÷ 6 | باقٍ = 3 ؟ |
|---|---|---|
| 5 | 6×0 + 5 | ❌ |
| 15 | 6×2 + 3 | ✅ |
| 25 | 6×4 + 1 | ❌ |
| 35 | 6×5 + 5 | ❌ |
| 45 | 6×7 + 3 | ✅ |
| 55 | 6×9 + 1 | ❌ |
| 65 | 6×10 + 5 | ❌ |
| 75 | 6×12 + 3 | ✅ |
| 85 | 6×14 + 1 | ❌ |
| 95 | 6×15 + 5 | ❌ |
نلاحظ أنّها تتباعد بـ\(30\) — وهو المضاعف المشترك الأصغر لـ\(5\) و\(6\). ليس صدفة.
ملاحظة صادقة على هذا التمرين
وهذه مهارة في حدّ ذاتها: أن تكتشف أنّ تمرينًا يقبل عدّة حلول، وأن تذكرها كلّها بدل أن تختار واحدًا اعتباطًا.