نص التمرين
المرحلة 1: توجيهات للتفكير
1: \(15=3\times 5\)، و3 و5 أوليان فيما بينهما ⟶ يكفي الشرطان معًا.
وانتبه إلى الترتيب: معيار 5 يخصّ رقم الآحاد \(y\) وحده ⟶ يُحدّده فورًا (احتمالان). ومعيار 3 يخصّ مجموع الأرقام ⟶ يربط \(x\) بـ\(y\).
ابدأ بـ\(y\)، ثمّ تفرّع نحو \(x\). العكس يجعل الشجرة عشرَ مرّاتٍ أكبر.
2: «ثلاثة أرقامٍ فرديّة مختلفة» ⟶ لا خطر من الصفر (0 زوجيّ).
المرحلة 2: منهجية الحل
- 1) طبّق معيار 5 على \(y\) ⟶ فرعان.
- في كلّ فرع، اُكتب مجموع الأرقام بدلالة \(x\) وطبّق معيار 3.
- اُجمع نتائج الفرعين.
- 2) عُدّ الأرقام الفرديّة، ثمّ اُنقص 1 عند كلّ موضع (شرط «مختلفة»).
المرحلة 3: التصحيح المفصل
1) العدد \(a=\overline{1x1y}\) قابلٌ للقسمة على 15
\(15=3\times 5\) ⟶ يجب أن يكون \(a\) قابلاً للقسمة على 5 وعلى 3 معًا.
معيار 5: رقم الآحاد \(y\in\{0\,;\,5\}\) ⟶ فرعان.
معيار 3: مجموع الأرقام \(=1+x+1+y=2+x+y\) يجب أن يكون مضاعفًا لـ3.
الفرع الأوّل: \(y=0\)
المجموع \(=2+x\). مضاعفٌ لـ3 ⟶ \(2+x\in\{3\,;\,6\,;\,9\}\) ⟶ \(x\in\{1\,;\,4\,;\,7\}\).
الأعداد: \(\mathbf{1110}\) · \(\mathbf{1410}\) · \(\mathbf{1710}\)
الفرع الثاني: \(y=5\)
المجموع \(=2+x+5=7+x\). مضاعفٌ لـ3 ⟶ \(7+x\in\{9\,;\,12\,;\,15\}\) ⟶ \(x\in\{2\,;\,5\,;\,8\}\).
الأعداد: \(\mathbf{1215}\) · \(\mathbf{1515}\) · \(\mathbf{1815}\)
ستّة أعداد: 1110 · 1215 · 1410 · 1515 · 1710 · 1815
تحقّق: \(1215=15\times 81\) ✓ · \(1710=15\times 114\) ✓
2) كمّ المجموعة \(E\)
الأرقام الفرديّة: \(\{1\,;\,3\,;\,5\,;\,7\,;\,9\}\) ⟶ خمسة أرقام.
و0 ليس فرديًّا ⟶ لا مشكلة في موضع المئات.
المئات: 5 · العشرات: 4 · الآحاد: 3
\(\text{كم}(E)=5\times 4\times 3=\mathbf{60}\)