التمرين 029 — قواسم وأعداد فردية

🔢 قابلية القسمة⭐ التاسعة أساسي📘 تصحيح في 3 مراحل

نص التمرين

بيّن أنّه إذا كان 4 يقسم \(ab\) و\(a\) عددٌ فرديّ، فإنّ \(b\) عددٌ زوجيّ.

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

الفرضيّة تقول إنّ العامل 4 موجودٌ داخل الجداء \(ab\). السؤال هو: من أين جاء؟

هل يمكن أن يأتي من \(a\)؟ فكّر: \(a\) فرديّ… فهل يمكن لعددٍ فرديٍّ أن يحتوي العامل 2؟

الأداة: إذا كان \(c\) يقسم الجداء \(ab\)، و\(c\) أوليّ مع \(a\)، فإنّ \(c\) يقسم \(b\). (ليمّا غاوس)

المرحلة 2: منهجية الحل

  1. اُثبت أنّ 4 و\(a\) أوليان فيما بينهما (اِستعمل فرديّة \(a\)).
  2. طبّق الأداة أعلاه على \(4\mid ab\).
  3. اِستنتج نتيجةً أقوى من المطلوب، ثمّ اِستنتج المطلوب.

المرحلة 3: التصحيح المفصل

الخطوة 1 — 4 و\(a\) أوليان فيما بينهما

\(4=2^{2}\). قواسمه هي 1 و2 و4، وكلّها زوجيّةٌ ما عدا 1.

و\(a\) عددٌ فرديّ ⟶ لا يقبل القسمة على 2، فلا يقبلها على 4 كذلك.

إذن القاسم المشترك الوحيد لـ4 و\(a\) هو 1: \(\;\text{ق.م.أ}(4\,;\,a)=1\).

الخطوة 2 — تطبيق الأداة

لدينا: \(4\mid ab\)  و  \(4\) أوليّ مع \(a\).

إذن \(\;\mathbf{4\mid b}\).

الخطوة 3 — الاستنتاج

\(4\) يقسم \(b\) ⟶ نكتب \(b=4k=2\times(2k)\) ⟶ \(b\) عددٌ زوجيّ. ✓

لقد أثبتنا أكثر من المطلوب: السؤال طلب «\(b\) زوجيّ»، ونحن وجدنا أنّ \(b\) مضاعفٌ لـ4. هذا ليس خطأً — بل هو علامةٌ على أنّ البرهان مضبوط. النتيجة الأقوى تُعطي الأضعف مجّانًا.

لماذا الفرضيّة «\(a\) فرديّ» ضروريّة؟

لنُجرّب حذفها: خُذ \(a=2\) و\(b=2\). عندئذٍ \(ab=4\)، و4 يقسم 4 ✓… و\(b=2\) زوجيّ، فالنتيجة صحيحة صدفةً.

لكن خُذ \(a=4\) و\(b=3\): \(ab=12\)، و\(4\mid 12\) ✓، لكنّ \(b=3\) فرديّ! ⟶ النتيجة تسقط.

إذن الفرضيّة «\(a\) فرديّ» هي التي تمنع العامل 4 من الاختباء داخل \(a\)، فتُجبره على السكن في \(b\).

هذه عادةٌ يجب أن تكتسبها: بعد كلّ برهان، اسأل «أين استعملتُ كلّ فرضيّة؟» إن وجدتَ فرضيّةً لم تستعملها، فإمّا أنّ برهانك خاطئ، وإمّا أنّ الفرضيّة زائدة.