التمرين 14 — قابلية القسمة

🔢 قابلية القسمة⭐ التاسعة أساسي📘 تصحيح في 3 مراحل

نص التمرين

التمرين رقم 3 — اختر الإجابة الصحيحة الوحيدة:

1) مجموع عددين أصمَّين هو عدد أصمّ. (صحيح / خطأ / لا يمكن الجزم)
2) رقم آحاد العدد \(2\times 25^{159} + 5^{320} + 5^{319}\) هو: \(5\) / \(0\) / \(2\)
3) كمّ عدد فرديّ ذي \(3\) أرقام مختلفة مئاته زوجيّ: \(250\) / \(200\) / \(160\)
4) \(a = 9n+8\) حيث \(n\in\mathbb{N}\). خارج القسمة الإقليدية لـ\(a\) على \(3\) يساوي: \(2\) / \(3n\) / \(3n+2\)
⚠️ بعض الرموز في النسخة الأصلية غير واضحة بسبب استخراج PDF. يجب مقارنة العبارة بالصورة الأصلية قبل اعتماد نتيجة عددية نهائية.

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

سؤال 1: عبارة تبدأ بـ«دائمًا» أو تدّعي قاعدة عامّة — ابحث عن مثال مضادّ. مثال واحد يهدمها.

سؤال 2: لا تحسب \(5^{320}\)! رقم الآحاد لقوى \(5\) — ماذا تلاحظ؟ \(5^1=5\), \(5^2=25\), \(5^3=125\)…

سؤال 3: شجرة الاختيار. أيّ خانة هي الأكثر تقييدًا؟ وانتبه: المئات لا يمكن أن تكون \(0\).

سؤال 4: السؤال يطلب الخارج. اكتب \(a = 3\times q + r\) مع \(0\le r<3\).

المرحلة 2: منهجية الحل

القسمة الإقليدية: \(a = b\times q + r\) مع \(0 \le r < b\).
الباقي أصغر تمامًا من القاسم — دائمًا. إن وجدتَ باقيًا \(\ge b\)، فلم تنتهِ بعد.
  1. لهدم عبارة عامّة: مثال مضادّ.
  2. لرقم آحاد قوّة: ابحث عن الدورية.
  3. للتعداد: ابدأ بالخانة الأكثر تقييدًا.

المرحلة 3: التصحيح المفصل

1) مجموع عددين أصمَّين ⟹ خطأ

مثال مضادّ: \(\sqrt{2}\) أصمّ و\(-\sqrt{2}\) أصمّ، لكن:

\(\sqrt{2} + \left(-\sqrt{2}\right) = 0\) — وهو عدد صحيح، لا أصمّ.

مثال آخر: \(\left(3+\sqrt{2}\right) + \left(3-\sqrt{2}\right) = 6\).

إذن العبارة خاطئة. (تُصبح صحيحة أحيانًا فقط — و«أحيانًا» ليست قاعدة.)

2) رقم آحاد \(2\times 25^{159} + 5^{320} + 5^{319}\)

لاحظ الدورية: \(5^{1}=5\), \(5^{2}=25\), \(5^{3}=125\), \(5^{4}=625\)…
رقم الآحاد لأيّ قوّة لـ\(5\) (بأُسّ \(\ge 1\)) هو دائمًا \(5\).

و\(25^{159}\) ينتهي أيضًا بـ\(5\) (لأنّ \(25 = 5^{2}\)).

إذن:

\(2\times \left(\dots 5\right) \rightarrow\) ينتهي بـ\(\mathbf{0}\)  (لأنّ \(2\times 5 = 10\))
\(5^{320} \rightarrow\) ينتهي بـ\(5\)  ·  \(5^{319} \rightarrow\) ينتهي بـ\(5\)
المجموع: \(0 + 5 + 5 = 10 \rightarrow\) رقم الآحاد هو \(\mathbf{0}\)

3) أعداد فردية، 3 أرقام مختلفة، المئات زوجيّة

خانة المئات (زوجيّة وغير معدومة): \(\{2;4;6;8\}\) ⟹ 4.
خانة الآحاد (فردية): \(\{1;3;5;7;9\}\) ⟹ 5 (لا تتعارض مع المئات: الفردي ≠ الزوجي).
خانة العشرات: أيّ رقم عدا الاثنين المستعملين ⟹ \(10-2 = \mathbf{8}\).

\(4 \times 8 \times 5 = \mathbf{160}\) عددًا

4) خارج قسمة \(a = 9n+8\) على \(3\)

محاولة ساذجة: \(9n+8 = 3\times 3n + 8\) ⟹ الخارج \(3n\)، الباقي \(8\).
لكن \(8 \ge 3\) — هذا ليس باقيًا صالحًا! يجب المواصلة.

نُخرِج من \(8\) ما يمكن: \(8 = 6 + 2 = 3\times 2 + 2\).

\(a = 9n + 6 + 2 = 3\left(3n + 2\right) + 2\)
الخارج \(= \mathbf{3n+2}\)  ·  الباقي \(= 2\)  (و\(0\le 2<3\) ✓)
الفخّ في السؤال 4 هو أشهر خطأ في القسمة الإقليدية:
التوقّف عند \(3\times 3n + 8\) لأنّ العدد \(9\) «يقبل القسمة على \(3\)».
لكنّ الباقي يجب أن يكون أصغر من القاسم. تحقّق دائمًا: \(0 \le r < b\).