التمرين 15 — قابلية القسمة

🔢 قابلية القسمة⭐ التاسعة أساسي📘 تصحيح في 3 مراحل

نص التمرين

التمرين رقم 4
1) باستعمال شجرة الاختيار، أوجد الأعداد ذات ثلاثة أرقام مختلفة، مضاعفة للعدد \(5\)، رقم عشراتها أوّليّ، ورقم مئاتها مضاعف للعدد \(3\).
2) نعتبر \(m = \overline{29a4b}\) حيث \(a\) رقم المئات و\(b\) رقم الآحاد. ابحث عن \(a\) و\(b\) حتّى يكون \(m\) قابلاً للقسمة على \(8\) و\(12\) و\(15\) في نفس الوقت.
3) ليكن \(n\) عددًا صحيحًا طبيعيًّا حيث \(n = 5p+3 = 3q+1\) مع \(p, q \in \mathbb{N}^{*}\).
أ) بيّن أنّ \(n+2\) مضاعف للعدد \(15\).
ب) إذا علمتَ أنّ \(120 < n < 140\)، أوجد \(p\) و\(q\).

⚠️ بعض الرموز في النسخة الأصلية غير واضحة بسبب استخراج PDF. يجب مقارنة العبارة بالصورة الأصلية قبل اعتماد نتيجة عددية نهائية.

المرحلة 1: توجيهات للتفكير

السؤال 1: ثلاثة شروط. ترجم كلّ واحد إلى قائمة أرقام صريحة. انتبه إلى «أوّليّ» — ما هي الأرقام الأوّلية؟ وإلى «مضاعف لـ\(3\)» في المئات — هل يشمل \(0\)؟ (لا! المئات لا تكون \(0\).)

السؤال 2: «على \(8\) و\(12\) و\(15\) في نفس الوقت» — لا تطبّق ثلاثة معايير منفصلة. احسب المضاعف المشترك الأصغر أوّلاً.

السؤال 3: عبقريّ في بساطته. لديك \(n = 5p+3\) و\(n = 3q+1\). أضف \(2\) إلى كلٍّ منهما — ماذا يحدث؟

المرحلة 2: منهجية الحل

س1: ترجم، اضرب الإمكانيات، ثمّ اطرح حالات التكرار.
س2: م.م.ص\(\left(8;12;15\right)\) — حلّل كلّ عدد إلى عوامل أوّلية وخذ أكبر أُسّ لكلّ عامل.
س3: أضف \(2\) إلى الكتابتين، ثمّ حلّل. ستجد عاملًا في كلّ مرّة.

الأرقام الأوّلية (من \(0\) إلى \(9\)): \(2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\).
انتبه: \(1\) ليس أوّليًّا (قاسم واحد فقط)، و\(0\) و\(9\) ليسا أوّليَّين.

المرحلة 3: التصحيح المفصل

1) شجرة الاختيار

الآحاد — مضاعف لـ\(5\): \(\{0\;;\;5\}\) ⟹ 2.
العشرات — أوّليّ: \(\{2\;;\;3\;;\;5\;;\;7\}\) ⟹ 4.
المئات — مضاعف لـ\(3\) وغير معدوم: \(\{3\;;\;6\;;\;9\}\) ⟹ 3.

الحساب الأوّلي: \(3\times 4\times 2 = 24\). لكن يجب إسقاط حالات تكرار الرقم \(5\):

إذا كانت العشرات \(=5\) والآحاد \(=5\) ⟹ \(355, 655, 955\) — ثلاث حالات.
وإذا كانت المئات \(=3\) والعشرات \(=3\) ⟹ \(330, 335\) — حالتان.

بعد الفلترة الدقيقة نحصل على 19 عددًا:

320 · 325 · 350 · 370 · 375 · 620 · 625 · 630 · 635 · 650 · 670 · 675 · 920 · 925 · 930 · 935 · 950 · 970 · 975

2) \(m = \overline{29a4b}\) على \(8\), \(12\), \(15\)

المضاعف المشترك الأصغر: \(8 = 2^{3}\) · \(12 = 2^{2}\times 3\) · \(15 = 3\times 5\)

م.م.ص \(= 2^{3}\times 3\times 5 = \mathbf{120}\)

إذن السؤال يصبح: متى يقبل \(m\) القسمة على \(120\) ؟

الخطوة 1 — معيار \(5\): \(b \in \{0;5\}\).
الخطوة 2 — معيار \(8\): يفرض أن يكون \(m\) زوجيًّا ⟹ \(b = \mathbf{0}\).
الخطوة 3 — معيار \(8\) كاملاً: الأرقام الثلاثة الأخيرة \(\overline{a40}\) تقبل القسمة على \(8\):
\(040\)✓ \(140\)✗ \(240\)✓ \(340\)✗ \(440\)✓ \(540\)✗ \(640\)✓ \(740\)✗ \(840\)✓ \(940\)✗ ⟹ \(a \in \{0;2;4;6;8\}\)
الخطوة 4 — معيار \(3\): \(2+9+a+4+0 = 15+a\) مضاعف لـ\(3\) ⟹ \(a \in \{0;3;6;9\}\)

التقاطع: \(a \in \{0\;;\;6\}\) و\(b = 0\)
إذن \(m = 29040\) أو \(m = 29640\)

3) الفكرة الجميلة

أ) من \(n = 5p+3\) : \(n+2 = 5p+5 = 5\left(p+1\right)\) ⟹ \(n+2\) مضاعف لـ\(\mathbf{5}\)
من \(n = 3q+1\) : \(n+2 = 3q+3 = 3\left(q+1\right)\) ⟹ \(n+2\) مضاعف لـ\(\mathbf{3}\)

و\(3\) و\(5\) أوّليّان فيما بينهما ⟹

\(n+2\) مضاعف لـ\(3\times 5 = \mathbf{15}\)

ب) \(120 < n < 140\) ⟹ \(122 < n+2 < 142\).

مضاعفات \(15\) في هذا المجال: \(135\) فقط (لأنّ \(120\) و\(150\) خارجه).

\(n+2 = 135\) ⟹ \(n = \mathbf{133}\)

ثمّ: \(133 = 5p+3\) ⟹ \(5p = 130\) ⟹ \(p = \mathbf{26}\)
\(133 = 3q+1\) ⟹ \(3q = 132\) ⟹ \(q = \mathbf{44}\)

ما يجب أن تحتفظ به من السؤال 3:
لم نبحث عن \(n\) بالتجريب. أضفنا \(2\) — عملية واحدة — فتحوّل «باقٍ \(3\)» و«باقٍ \(1\)» إلى «قسمة تامّة» في الحالتين.
هذه هي الحيلة الأساسية: عندما ترى بواقي مختلفة، اسأل: ما العدد الذي أضيفه ليختفي الباقيان معًا؟